HDU 6333 Problem B. Harvest of Apples（莫队算法）

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莫队算法

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本文介绍了一种利用组合数学原理快速解决特定问题的方法，通过预处理和递推关系实现了O(1)的时间复杂度更新答案，适用于求解从n个物品中选择至多m个的方案数问题，并提供了一个具体的实现代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

求 $n$ 个物品选出至多 $m$ 个的方案数

Input

第一行一整数 $T$ 表示用例组数，每组用例输入两个整数 $n,m(1\le T\le 10^5,1\le m\le n\le 10^5)$

Output

输出结果模 $10^9+7$

Sample Input

2
5 2
1000 500

Sample Output

16
924129523

Solution

由于 $\sum\limits_{i=1}^{m+1}C_n^i=\sum\limits_{i=0}^mC_n^i+C_n^{m+1}$ , $\sum\limits_{i=0}^mC_{n+1}^i=2\sum\limits_{i=0}^mC_n^i-C_n^m$ ，故每次 $n,m$ 变化 $1$ 都可以 $O(1)$ 维护答案，对所有查询莫队即可

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 100005
#define mod 1000000007
int mul(int x,int y)
{
    ll z=1ll*x*y;
    return z-z/mod*mod;
}
int add(int x,int y)
{
    x+=y;
    if(x>=mod)x-=mod;
    return x;
}
int inv[maxn],fact[maxn],sum[maxn];
void init(int n=1e5)
{
    fact[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)fact[i]=mul(i,fact[i-1]);
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]); 
    sum[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=mul(sum[i-1],inv[i]);
}
int T,unit,ans[maxn];
struct node
{
    int l,r,id;
    bool operator<(const node &a)const
    {
        if (l/unit==a.l/unit)return r<a.r;
        return l/unit<a.l/unit;
    }
}query[maxn];
int C(int n,int m)
{
    if(m<0||m>n)return 0;
    return mul(fact[n],mul(sum[m],sum[n-m]));
}
int main()
{
    init();
    scanf("%d",&T);
    unit=(int)sqrt((double)T);
    for(int i=0;i<T;i++)
    {
        scanf("%d%d",&query[i].l,&query[i].r);
        query[i].id=i;
    }
    sort(query,query+T);
    int l=1,r=0;
    int temp=1;
    for(int i=0;i<T;i++)
    {
        while(r<query[i].r)
        {
            r++;
            temp=add(temp,C(l,r));
        }
        while(r>query[i].r)
        {
            temp=add(temp,mod-C(l,r));
            r--;
        }
        while(l<query[i].l)
        {
            temp=add(temp,temp);
            temp=add(temp,mod-C(l,r));
            l++;
        }
        while(l>query[i].l)
        {
            temp=add(temp,C(l-1,r));
            temp=mul(temp,inv[2]);
            l--;
        }
        ans[query[i].id]=temp;
    }
    for(int i=0;i<T;i++)printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}