BZOJ 5339 教科书般的亵渎（组合数学）

Description

有$n-m$只怪物，血量分别为$1$~$n$中去掉$m$个数字$a_1,...,a_m$，一次亵渎卡的效果是：首先所有怪物血量减一，如果存在怪物血量清零则所有怪物血量继续减一，使用该亵渎卡后，每只怪物对分数的贡献为$x^k$，其中$x$是该怪物在使用该卡之前的血量，$k$为杀死所有怪物所需的亵渎卡数量，问杀死所有怪物所得分数和

Input

第一行一整数$T$表示用例组数，每组用例首先输入两整数$n,m$，之后输入$m$个整数$a_1,...,a_m$

$(1\le T\le 10,1\le n\le 10^{13},1\le m\le 50,1\le a_i\le n,a_i\neq a_j)$

Output

输出得分，结果模$10^9+7$

Sample Input

2
10 1
5
4 2
1
2

Sample Output

415
135

Solution

假设$a$序列升序且$a_0=0$，那么第一张亵渎卡的效果会杀掉$[1,a_1-1]$的所有怪物，而之后的怪物血量变成$[1,a_2-a_1-1],[a_2-a_1+1,a_3-a_1-1],...,[a_m-a_1+1,n-a_1]$，显然每使用一次亵渎就会消去一个区间，故$k=m+1$，且第$i$次使用亵渎得分为$\sum\limits_{i=1}^{n-a_{i-1}}i^{m+1}-\sum\limits_{j=i}^m(a_j-a_{i-1})^{m+1}$，故问题转化为求自然数幂和，用伯努利数或第二类斯特林数均可求出幂和，此处说一下如何用第二类斯特林数求解，记$S_k(n)=\sum\limits_{i=1}^ni^k$

考虑恒等式$n^k=\sum\limits_{i=1}^kA_n^i\cdot S(k,i)$，我们有

$$S_k(n)=\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=1}^kA_i^j\cdot S(k,j)=\sum\limits_{j=1}^kS(k,j)\sum\limits_{i=0}^nA_i^j$$
注意到
$$\sum\limits_{i=0}^nA_i^j=j!\sum\limits_{i=0}^nC_i^j=j!C_{n+1}^{j+1}=\frac{1}{j+1}C_{n+1}^{j+1}$$
故有
$$S_k(n)=\sum\limits_{i=1}^k\frac{S(k,i)\cdot C_{n+1}^{i+1}}{i+1}$$
连续$i+1$个数字相乘必可被$i+1$整除，故对任意模数均可$O(k)$计算$\frac{C_{n+1}^{i+1}}{i+1}$，预处理第二类斯特林数和单次查询时间复杂度均为$O(k^2)$

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 105
#define mod 1000000007
int mul(int x,int y)
{
    ll z=1ll*x*y;
    return z-z/mod*mod;
}
int add(int x,int y)
{
    x+=y;
    if(x>=mod)x-=mod;
    return x;
}
int Pow(int x,int y)
{
    int ans=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ans=mul(ans,x);
        x=mul(x,x);
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
int S[maxn][maxn];
void init(int n=52)
{
    S[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
            S[i][j]=add(S[i-1][j-1],mul(j,S[i-1][j]));
}
int Solve(ll n,int k)
{
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        int res=S[k][i];
        for(ll j=n+1-i;j<=n+1;j++)
            if(j%(i+1)==0)res=mul(res,j/(i+1)%mod);
            else res=mul(res,j%mod);
        ans=add(ans,res);
    }
    return ans;
}
int T,m;
ll n,a[maxn];
int main()
{
    init();
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%lld",&a[i]);
        sort(a+1,a+m+1);
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=m+1;i++)
        {
            ans=add(ans,Solve(n-a[i-1],m+1));
            for(int j=i;j<=m;j++)ans=add(ans,mod-Pow((a[j]-a[i-1])%mod,m+1));
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}