HDU - 2065 "红色病毒"问题 (指数型母函数+泰勒级数)

题目描述：

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这是一道巧妙的题，典型的排列问题，看上去就是指数型母函数的模板，关于指数型母函数的讲解(点击打开链接)问题在于这题N的范围太大，不可能裸求，这个时候就要想一些特殊的办法。先按照指数型母函数的模板写出表达式。注意AC只能出现偶数次。

(1+x^1/1!+x^2/2!+...x^n/n!)(1+x^2/2!+x^4/4!+...x^n/n!)(1+x^1/1!+x^2/2!+...x^n/n!)(1+x^2/2!+x^4/4!+...x^n/n!)=(1+x^1/1!+x^2/2!+...x^n/n!)^2(1+x^2/2!+x^4/4!+...x^n/n!)^2

我们要求x^n的系数。这个时候就要用到神奇的泰勒级数，这种题对于我这种高数靠师生情才不挂科的人来说真不友好。至于泰勒级数百度百科一下或者翻一翻高数课本都行。很明显(1+x^1/1!+x^2/2!+...x^n/n!)是e^x在x=0处的泰勒级数，同样(1+x^2/2!+x^4/4!+...x^n/n!)可以作为(e^x+e^(-x))/2的泰勒级数，那么原式化简成为e^2x((e^x+e^(-x))/2)^2，乘开得到(e^4x+1+2*e^2x)/4，再把e^4x和e^2x用泰勒级数展开(1+4x/1!+(4x)^2/2!+...(4x)^n/n!+1+2*(1+(2x)/1!+(2x)^2/2!+...(2x)^n/n!))/4化简得1/4+x/1!+4*x^2/2!+...4^(n-1)*x^n/n!+1/4+1/2+x/1!+2*x^2/2!+...2^(n-1)*x^n/n!.找到x^n的系数(4^(n-1)+2^(n-1))/n!再乘上n!得到结果4^(n-1