HDU 5894 hannnnah_j’s Biological Test（组合数学）

最新推荐文章于 2021-04-02 15:52:49 发布

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分类专栏： HDU 组合数学

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本文探讨了一类典型的组合数学问题——环形排列问题，具体为如何计算在特定约束条件下（如孩子之间的最小间隔），将一定数量的孩子安排在环形位置上的不同方案数。通过巧妙的数学转换和组合公式应用，给出了解决方案并提供了实现该算法的C++代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

$n$ 个不同的位置围成一圈，要给安排 $m$ 个座位给孩子坐，要求任意两个孩子之间空座位数量不小于 $k$ ，问方案数

Input

第一行一整数 $T$ 表示用例组数，每组用例输入三个整数 $n,m,k(T\le 1000,0<m<n<10^6,0<k<1000)$

Output

对于每组用例，输出方案数，结果模 $10^9+7$

Sample Input

2
4 2 6
5 2 1

Sample Output

0
5

Solution

若 $m=1$ ，只有一个孩子随便坐，方案数 $n$

若 $m>1$ ，给孩子编号，最后除以 $m!$ 即可取消编号带来的影响，首先以第 $1$ 个孩子的位置为起点把圈变成序列，由于任意两个孩子之间空座位不少于 $k$ ，不妨先拿出 $km$ 个座位空着，对于剩下的 $n-km-1$ 个座位和 $m-1$ 个孩子，随便坐即可，方案数 $A_{n-km-1}^{m-1}$ ，第一个孩子选座位有 $n$ 种方案，故方案数为 $\frac{n\cdot A_{n-km-1}^{m-1}}{m!}=\frac{n}{m}\cdot C_{n-km-1}^{m-1}$

Code

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 1111111
ll inv[maxn];
#define mod 1000000007ll
int T,n,m,k; 
ll mod_pow(ll a,ll b)
{
    ll ans=1ll;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll C(int n,int m)
{
    if(n<m)return 0;
    if(n-m>m)m=n-m;
    ll ans=1ll;
    for(int i=1;i<=n-m;i++)ans=ans*(i+m)%mod*inv[i]%mod;
    return ans;
}
int main()
{
    for(int i=1;i<maxn;i++)inv[i]=mod_pow(i,mod-2);
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
        if(m==1)printf("%d\n",n);
        else printf("%I64d\n",1ll*n*C(n-1-k*m,m-1)%mod*inv[m]%mod);
    }
    return 0;
}