CodeForces 46 E.Comb（dp）

最新推荐文章于 2020-04-07 23:38:00 发布

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本文介绍了一种解决特定矩阵中元素选择问题的方法，通过动态规划实现最优元素和的选择，适用于n×m矩阵，其中元素数量需满足特定的交错不等式约束。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出一个 $n\times m$ 的矩阵，要求从第 $i$ 行选取前 $c_i$ 个元素，满足 $c_i>0,c_1>c_2<c_3>c_4...$ ，问所选元素和最大值

Input

第一行两个整数 $n,m$ 表示矩阵行列数，之后输入一个 $n\times m$ 的矩阵，矩阵元素绝对值不超过 $10^4$ $(2\le n,m\le 1500)$

Output

输出所选元素和最大值

Sample Input

2 2
-1 2
1 3

Sample Output

Solution

以 $sum[i][j]$ 表示第 $i$ 行前 $j$ 个元素之和， $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 行所选元素数量满足条件且第 $i$ 行选了 $j$ 个元素的元素和最大值，如果 $i$ 为奇数，那么第 $i-1$ 行至多选 $j-1$ 个元素，如果 $i$ 为偶数，那么第 $i-1$ 至少选 $j+1$ 个元素，进而有转移：

$dp[i][j]=sum[i][j]+max(dp[i-1][k],1\le k\le j-1)$ ， $i$ 为奇数

$dp[i][j]=sum[i][j]+max(dp[i-1][k],j+1\le k\le m)$ ， $i$ 为偶数

令 $l[i][j]=max(dp[i][k]),1\le k\le j,r[i][j]=max(dp[i][k]),j\le k\le m$ ，转移时维护这两个数组即可 $O(1)$ 转移，时间复杂度 $O(nm)$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=1505;
int n,m,s[maxn][maxn];
ll dp[maxn][maxn],l[maxn],r[maxn];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            int a;
            scanf("%d",&a);
            s[i][j]=s[i][j-1]+a;
        }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            dp[i][j]=-1e18;
    for(int j=2;j<=m;j++)dp[1][j]=s[1][j];
    r[m]=dp[1][m];
    for(int j=m-1;j>=1;j--)r[j]=max(r[j+1],dp[1][j]);
    l[1]=dp[1][1];
    for(int j=2;j<=m;j++)l[j]=max(l[j-1],dp[1][j]);
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if((i&1)&&j>1&&l[j-1]!=-1e18)dp[i][j]=max(dp[i][j],l[j-1]+s[i][j]);
            else if(!(i&1)&&j<m&&r[j+1]!=-1e18)dp[i][j]=max(dp[i][j],r[j+1]+s[i][j]);
        }
        r[m]=dp[i][m];
        for(int j=m-1;j>=1;j--)r[j]=max(r[j+1],dp[i][j]);
        l[1]=dp[i][1];
        for(int j=2;j<=m;j++)l[j]=max(l[j-1],dp[i][j]);
    }
    printf("%I64d\n",l[m]); 
    return 0;
}