CodeForces 13 C.Sequence（dp）

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本文介绍了一种算法问题，目标是最少的操作次数使序列变为非递减。通过动态规划求解，利用排序后的序列作为参照，实现O(n^2)的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出一个长度为 $n$ 的序列 $a_1,...,a_n$ ，每次操作可以选择一个数加一或者减一，问至少多少次操作可以使得整个序列不减

Input

第一行一整数 $n$ 表示序列长度，之后输入 $n$ 个整数 $a_1,...,a_n(1\le n\le 5000,-10^9\le a_i\le 10^9)$

Output

输出最少操作次数

Sample Input

5
3 2 -1 2 11

Sample Output

Solution

首先可以知道最优情况下每个数字必然会被变成初始数集中的某个数字，假设数集为 $b_1\le b_2\le ...\le b_n$ ，以 $dp[i][j]$ 表示使得前 $i$ 个数字不减且第 $i$ 个数字不超过 $b_j$ 的最少操作次数，由于第 $i$ 个数要么不超过 $b_{j-1}$ 要么就是 $b_j$ ，所以转移很简单，即 $dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i-1][j]+|a_i-b_j|)$ ，答案即为 $dp[n][n]$ ，注意到第一维直接可以省掉，时间复杂度 $O(n^2)$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=5005;
int n,a[maxn],b[maxn];
ll dp[maxn];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),b[i]=a[i];
    sort(b+1,b+n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            dp[j]+=abs(a[i]-b[j]);
            if(j>1)dp[j]=min(dp[j-1],dp[j]);
        }
    printf("%I64d\n",dp[n]);
    return 0;
}