CodeForces 13 D.Triangles（计算几何）

最新推荐文章于 2021-01-29 10:32:39 发布

v5zsq

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分类专栏： Code Forces 计算几何

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计算几何

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本文介绍了一种算法，用于计算二维平面上由红点组成的、内部不含蓝点的三角形数量。通过引入无穷远点并利用叉积计算蓝点位置，实现了O(n^3)的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出二维平面上 $n$ 个红点和 $m$ 个蓝点，保证任意三点不共线，问有多少三角形是由三个红点组成且其内部没有蓝点

Input

第一行输入两个整数 $n,m$ ，之后 $n$ 行每行两个整数表示红点坐标，最后 $m$ 行每行两个整数表示蓝点坐标，所有坐标绝对值不超过 $10^9$ $(0\le n,m\le 500)$

Output

输出满足条件的三角形个数

Sample Input

4 1
0 0
10 0
10 10
5 4
2 1

Sample Output

Solution

令 $O$ 为无穷远点（例如 $O=(-10^9-1,-10^9-1)$ ），对于第 $i$ 个红点 $A$ 和第 $j$ 个红点 $B$ ，枚举蓝点判断其是否在三角形 $OAB$ 中即可得到三角形 $OAB$ 内部蓝点个数，令其为 $num[i][j]$ ，为计数方便，如果 $OA$ 在 $OB$ 的逆时针方向则符号为正否则为负，得到 $num$ 后，对于枚举的三个红点 $i,j,k$ ，其组成的三角形内部蓝点个数即为 $|num[i][j]+num[j][k]+num[k][i]|$ ，该值为 $0$ 即得到一个合法三角形，时间复杂度 $O(n^3)$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=505;
struct Point
{
    int x,y;
    Point(){};
    Point(int _x,int _y)
    {
        x=_x,y=_y;
    }
    Point operator-(const Point &b)const
    {
        return Point(x-b.x,y-b.y);
    }
    ll operator*(const Point &b)const
    {
        return (ll)x*b.y-(ll)y*b.x;
    }
}a[maxn],b[maxn];
int n,m,dp[maxn][maxn];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
    for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d",&b[i].x,&b[i].y);
    a[0]=Point(-1e9-1,-1e9-1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if((a[i]-a[0])*(a[j]-a[0])<=0)continue;
            for(int k=1;k<=m;k++)
                if((a[i]-a[0])*(b[k]-a[0])>=0&&(a[j]-a[i])*(b[k]-a[i])>=0&&(b[k]-a[0])*(a[j]-a[0])>=0)
                    dp[i][j]++;
            dp[j][i]=-dp[i][j];
        }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            for(int k=j+1;k<=n;k++)
                if(dp[i][j]+dp[k][i]+dp[j][k]==0)
                    ans++;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}