CodeForces 895 C.Square Subsets（状压DP+线性基）

Description

给出$n$个数$a_1,...,a_n$，问从这$n$个数中选一非空子集使得乘积是完全平方数的方案数

Input

第一行一整数$n$表示数的个数，之后输入$n$个整数$a_i(1\le n\le 10^5,1\le a_i\le 70)$

Output

输出方案数，结果模$10^9+7$

Sample Input

4
1 1 1 1

Sample Output

15

Solution1

统计$i$出现的次数$num_i$，由于$a_i$范围很小，$1$~$70$中的素数只有$19$个，设其为$p_1,...,p_{19}$，则可以用一个$19$位$01$的状态$sta[x]$表示一个数字$x$含有某素因子个数的奇偶性，$sta[x]$第$i$位是$1$说明$x$的素因子分解形式中有奇数个$p_i$，是$0$说明$x$的素因子分解形式中有偶数个$p_i$，以$dp[i][j]$表示从$1$~$i$选取若干数乘起来，乘积状态为$j$的方案数，根据用奇数个$i$还是偶数个$i$有转移

用奇数个$i$，则乘积的状态$j$会变成$j$^$sta[i]$，故有$dp[i][j$^$sta[i]]+=2^{num_i-1}\cdot dp[i-1][j]$

用偶数个$i$，对乘积的状态无影响，故有$dp[i][j]+=2^{num_i-1}\cdot dp[i-1][j]$

最终$dp[70][0]-1$即为答案，减一是要去掉取空集的情况，时间复杂度$O(70\cdot 2^{19})$

Code1

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=71;
#define mod 1000000007
int p[maxn],vis[maxn],res;
int n,num[maxn],sta[maxn],dp[maxn][(1<<19)+5],f[100005];
void init(int n=70)
{
    res=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(!vis[i])
        {
            p[res++]=i;
            for(int j=2*i;j<=n;j+=i)vis[j]=1;
        }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int ii=i;
        for(int j=0;j<res&&p[j]<=ii;j++)
            while(ii%p[j]==0)
                ii/=p[j],sta[i]^=(1<<j);
    }
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=1e5;i++)f[i]=2*f[i-1]%mod;
}
void add(int &x,int y)
{
    x=x+y>=mod?x+y-mod:x+y;
}
int main()
{
    init();
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int temp;
        scanf("%d",&temp);
        num[temp]++;
    }
    dp[0][0]=1;
    int N=1<<19;
    for(int i=1;i<=70;i++)
    {
        if(!num[i])
        {
            for(int j=0;j<N;j++)
                add(dp[i][j],dp[i-1][j]);
        }
        else
        {
            for(int j=0;j<N;j++)
            {
                add(dp[i][j^sta[i]],(ll)f[num[i]-1]*dp[i-1][j]%mod);
                add(dp[i][j],(ll)f[num[i]-1]*dp[i-1][j]%mod);
            }
        }
    }
    printf("%d\n",(dp[70][0]+mod-1)%mod);
    return 0;
}

Solution2

同样的求出每个$a_i$的状态$s_i=sta[a_i]$得到状态序列，问题转化为从$s_1,s_2,...,s_n$中选取非空子集使得其异或和是$0$，考虑线性基，设线性基的维数是$m$，那么从非基的$n-m$个数中取任意和做异或得到的数字，均可以通过线性基表出，故答案为$2^{n-m}-1$，减一同样是去掉取空集的方案

Code2

#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=100005;
#define mod 1000000007
int res=0,p[77],vis[77];
int n,a[maxn],f[maxn],sta[77],base[22];
void init(int n=70)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(!vis[i])
        {
            p[res++]=i;
            for(int j=2*i;j<=n;j+=i)vis[j]=1;
        }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int ii=i;
        for(int j=0;j<res&&p[j]<=ii;j++)
            while(ii%p[j]==0)
                ii/=p[j],sta[i]^=(1<<j);
    }
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=1e5;i++)f[i]=2*f[i-1]%mod;
}
int main()
{
    init();
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int temp;
        scanf("%d",&temp);
        a[i]=sta[temp];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=21;j>=0;j--)
            if(a[i]>>j&1) 
            {
                if(!base[j])
                {
                    base[j]=a[i];
                    break;
                }
                else a[i]^=base[j];
            }
    int m=0;
    for(int i=0;i<=21;i++)
        if(base[i])m++;
    printf("%d\n",f[n-m]-1);
    return 0;
}