CodeForces 894 B.Ralph And His Magic Field(组合数学)

本文探讨了如何计算一个n×m的矩阵中,只填±1的情况下,满足每行每列乘积均为指定值k的方案数。通过数学推导,给出了针对k=1和k=-1的不同情况下的解决方案,并提供了具体的算法实现。

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Description

给出一个n×m的矩阵,现在要给每个位置填数,只能填±1,问有多少种方案使得每行每列乘积均为k,其中k{1,1}

Input

三个整数n,m,k(1n,m1018)

Output

输出方案数,结果模109+7

Sample Input

1 1 -1

Sample Output

1

Solution

如果k=1,先给前n1行前m1列填好数字,每个数组随便填,方案数2t,其中t=(n1)(m1),然后给前n1行每一行的第m个数字填和该行前m1个数乘积相同的数,这样可以保证前n1行每行乘积是1,而最后一行,第i个位置填第i列前n1个数乘积相同的数,这样可以保证每一列乘积是1,问题在于这样填是否可以保证最后一行乘积是1,由于整个矩阵的乘积=n1行的乘积最后一行的乘积=m列的乘积=1,故最后一行的乘积为1,满足条件

如果k=1,同理有2t种方案填好前n1行前m1列,但是注意到如果nm奇偶性不同,在填完最后一列后不满足最后一列乘积为1,此时无解

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=100001;
#define mod 1000000007
int Pow(int a,int b)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=(ll)ans*a%mod;
        a=(ll)a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    ll n,m;
    int k;
    while(~scanf("%I64d%I64d%d",&n,&m,&k))
    {
        int t=(ll)((n-1)%(mod-1))*((m-1)%(mod-1))%(mod-1);
        if(k==1)printf("%d\n",Pow(2,t));
        else if(k==-1)
        {
            if((n+m)&1)printf("0\n");
            else printf("%d\n",Pow(2,t));
        }   
    }
    return 0;
}
### Codeforces 平台上的快速幂算法题目及相关实现 #### 快速幂算法简介 快速幂是一种高效的计算 $a^b \mod c$ 的算法,其时间复杂度为 $O(\log b)$。通过将指数分解成二进制形式并利用平方倍增的方式减少乘法次数来提高效率。 --- #### 题目解析与实现方法 以下是两道来自 Codeforces 平台上涉及快速幂的经典题目及其解决方案: --- ##### **题目一:Codeforces 1594B** 这是一道典型的快速幂应用题,目标是找到第 $k$ 个以 $n$ 为底的幂底数累加的结果[^1]。 ###### 解决方案 给定整数 $n$ 和 $k$,我们需要按照 $k$ 的二进制表示逐位判断哪些位置对应的幂需要被加入最终结果中。具体实现如下: ```cpp #include <iostream> #define ll long long using namespace std; const int MOD = 1e9 + 7; int main() { int t; cin >> t; while (t--) { ll n, k; cin >> n >> k; ll ans = 0, s = 1; // 初始化答案和当前幂值 while (k != 0) { if (k & 1) { // 如果当前位为1,则加上对应幂值 ans = (ans + s) % MOD; } s = s * n % MOD; // 更新幂值 k >>= 1; // 右移一位 } cout << ans << endl; } return 0; } ``` 此代码的核心在于使用 `while` 循环逐步处理 $k$ 的每一位,并根据是否为 $1$ 来决定是否将其对应的幂值加入到总和中。 --- ##### **题目二:CodeForces - 894B Ralph And His Magic Field** 本题同样涉及到快速幂的应用,但更侧重于组合数学中的计数问题[^2]。 ###### 解决方案 对于输入的三个参数 $n$, $m$, 和 $k$,我们可以通过快速幂函数高效地求解 $(2^{(n-1)})^{(m-1)} \mod INF$ 的值。如果 $k=-1$ 且 $(n+m)\%2\neq0$,则直接返回 $0$;否则继续执行快速幂逻辑。 ```cpp #include <iostream> using namespace std; const long long INF = 1e9 + 7; long long fast_pow(long long base, long long exp) { long long result = 1; base %= INF; while (exp > 0) { if (exp & 1) { result = (result * base) % INF; } base = (base * base) % INF; exp >>= 1; } return result; } int main() { long long n, m, k; cin >> n >> m >> k; if (k == -1 && (n + m) % 2 != 0) { cout << "0" << endl; return 0; } cout << fast_pow(fast_pow(2, n - 1), m - 1) << endl; return 0; } ``` 这段程序定义了一个通用的快速幂辅助函数 `fast_pow`,用于简化主流程中的幂运算部分[^2]。 --- #### 总结 以上两个例子展示了如何在不同场景下灵活运用快速幂技术解决问题。无论是简单的累加还是复杂的嵌套幂运算,都可以借助这一技巧显著提升性能。 ---
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