CodeForces 894 B.Ralph And His Magic Field(组合数学)

本文探讨了如何计算一个n×m的矩阵中,只填±1的情况下,满足每行每列乘积均为指定值k的方案数。通过数学推导,给出了针对k=1和k=-1的不同情况下的解决方案,并提供了具体的算法实现。

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Description

给出一个n×m的矩阵,现在要给每个位置填数,只能填±1,问有多少种方案使得每行每列乘积均为k,其中k{1,1}

Input

三个整数n,m,k(1n,m1018)

Output

输出方案数,结果模109+7

Sample Input

1 1 -1

Sample Output

1

Solution

如果k=1,先给前n1行前m1列填好数字,每个数组随便填,方案数2t,其中t=(n1)(m1),然后给前n1行每一行的第m个数字填和该行前m1个数乘积相同的数,这样可以保证前n1行每行乘积是1,而最后一行,第i个位置填第i列前n1个数乘积相同的数,这样可以保证每一列乘积是1,问题在于这样填是否可以保证最后一行乘积是1,由于整个矩阵的乘积=n1行的乘积最后一行的乘积=m列的乘积=1,故最后一行的乘积为1,满足条件

如果k=1,同理有2t种方案填好前n1行前m1列,但是注意到如果nm奇偶性不同,在填完最后一列后不满足最后一列乘积为1,此时无解

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=100001;
#define mod 1000000007
int Pow(int a,int b)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=(ll)ans*a%mod;
        a=(ll)a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    ll n,m;
    int k;
    while(~scanf("%I64d%I64d%d",&n,&m,&k))
    {
        int t=(ll)((n-1)%(mod-1))*((m-1)%(mod-1))%(mod-1);
        if(k==1)printf("%d\n",Pow(2,t));
        else if(k==-1)
        {
            if((n+m)&1)printf("0\n");
            else printf("%d\n",Pow(2,t));
        }   
    }
    return 0;
}
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