CodeForces 364 A.Matrix（组合数学）

最新推荐文章于 2022-10-31 02:55:47 发布

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组合数学

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本文介绍了一种算法，用于解决给定数字串构造矩阵并求特定子矩阵个数的问题。通过预处理求和及统计不同和出现次数的方法，实现了高效计算。适用于算法竞赛中的动态规划与数学问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出一个数字串 $s$ ，定义矩阵 $b=(b_{ij})$ , $b_{ij}=s_i\cdot s_j$ ，问 $b$ 矩阵的所有和为 $a$ 的子矩阵个数

Input

一个整数 $a$ 和一个数字串 $s$ $(0\le a\le 10^9,1\le |s|\le 4000)$

Output

输出满足条件的子矩阵个数

Sample Input

10
12345

Sample Output

Solution

子矩阵 $(x,y,z,t)$ 的和为 $\sum\limits_{i=x}^y\sum\limits_{j=z}^tb_{ij}=(\sum\limits_{i=x}^ys_i)\cdot(\sum\limits_{j=z}^ts_j)=(sum_y-sum_{x-1})\cdot(sum_t-sum_{z-1})$ ，其中 $sum_i=\sum\limits_{j=1}^is_j$

枚举 $1\le i\le j\le |s|$ ，统计 $sum_j-sum_{i-1}=t$ 的 $(i,j)$ 对数 $num_t$ ，那么答案即为 $ans=\sum_{i\cdot j=a}num_i\cdot num_j$

注意 $a=0$ 时，答案为 $ans=num_0^2+2\sum\limits_{i>0}num_0\cdot num_i$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=40005;
char s[maxn];
int a,b[maxn],num[maxn];
int main()
{
    while(~scanf("%d",&a))
    {
        scanf("%s",s+1);
        int n=strlen(s+1);
        b[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=b[i-1]+s[i]-'0';
        memset(num,0,sizeof(num));
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=i;j<=n;j++)
                num[b[j]-b[i-1]]++;
        ll ans=0;
        for(int i=1;i*i<=a;i++)
        {
            int j=a/i;
            if(i*j==a&&i<=b[n]&&j<=b[n])
            {
                ans+=(ll)num[i]*num[j];
                if(i!=j)ans+=(ll)num[i]*num[j];
            }
        }
        if(a==0)
        {
            ans+=(ll)num[0]*num[0];
            for(int i=1;i<=b[n];i++)ans+=2ll*num[0]*num[i];
        }
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}