CodeForces 367 E.Sereja and Intervals（组合数学+dp）

Description

在长度为$n$的区间上放$n$对扩号，使得任一括号不被其他括号包含，且至少有一个左括号在$x$位置，问满足条件的括号序列个数

Input

三个整数$n,m,x(1\le n\cdot m\le 10^5,1\le x\le m)$

Output

输出满足条件的括号序列个数，结果模$10^9+7$

Sample Input

1 1 1

Sample Output

1

Solution

先不考虑括号间的相对顺序，求出有顺序的括号序列个数再乘上$n!$即为答案，首先一个位置不可能出现两个相同的括号，这样必然会有一个区间包含另一个区间，故一个位置只有四种情况，左括号，右括号，左括号和右括号，不放括号；每个位置括号放好后，括号序列固定，因为最后一个右括号必然匹配最后一个左括号，否则最后一个左括号会匹配一个位置在最后一个右括号之前的右括号，那么就会出现包含，以此类推确定每对括号，故问题变成一个简单$dp$，令$dp[i][j][k]$表示前$i$个位置放$j$个左括号和$k$个右括号的方案数，然后每个位置按当前位置的四种情况递推即可，注意只有当前位置不是$x$时才能放右括号或者不放括号，第$x$个位置要么放一个左括号要么放左右括号，$n!\cdot dp[m][n][n]$即为答案

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=333;
#define mod 1000000007
int n,m,x,dp[2][maxn][maxn],fact[maxn];
void init(int n=330)
{
    fact[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)fact[i]=(ll)i*fact[i-1]%mod;
}
void add(int &x,int y)
{
    x=x+y>=mod?x+y-mod:x+y;
}
int main()
{
    //只要一个端点不出现两个及以上的左括号或右括号，那么n个左括号和n个右括号对应唯一的互不包含的区间 
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&x);
    init();
    if(n>m)printf("0\n");
    else
    {
        dp[0][0][0]=1;
        int cur=0;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            cur^=1;
            for(int j=0;j<=n;j++)
                for(int k=0;k<=j;k++)
                {
                    dp[cur][j][k]=0;
                    if(j&&k)add(dp[cur][j][k],dp[cur^1][j-1][k-1]);//[]
                    if(j-1>=k)add(dp[cur][j][k],dp[cur^1][j-1][k]);//[
                    if(i!=x)
                    {
                        if(k)add(dp[cur][j][k],dp[cur^1][j][k-1]);//]
                        add(dp[cur][j][k],dp[cur^1][j][k]);//NULL
                    }
                }
        }
        int ans=(ll)dp[cur][n][n]*fact[n]%mod;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}