CodeForces 93 D.Flags（dp+矩阵快速幂）

Description

问只由$R,B,W,Y$组成的长度介于$[L,R]$的字符串且满足以下四个条件的字符串数量

$1$.相邻两个字符不同

$2$.$W$和$Y$不能相邻，$R$和$B$不能相邻

$3$.不能出现连续三个字符是$BWR$，反过来也不行

$4$.两个字符串互为反序视做同一个

Input

输入两个整数$L,R(1\le L\le R\le 10^9)$

Output

输出长度介于$[L,R]$之间且满足条件的字符串数量，结果模$10^9+7$

Sample Input

3 4

Sample Output

23

Solution

$dp[i][c]$表示长度为$i$且第$i$位是$c$字符的字符串数量，其中$c\in \{R,B,W,Y\}$

则有转移方程

$dp[i][R]=dp[i-1][W]+dp[i-1][Y]-dp[i-2][B]$

$dp[i][B]=dp[i-1][W]+dp[i-1][Y]-dp[i-2][R]$

$dp[i][W]=dp[i-1][R]+dp[i-1][B]$

$dp[i][Y]=dp[i-1][R]+dp[i-1][B]$

记$S[i]=\sum\limits_{j=1}^{i}(dp[i][R]+dp[i][B]+dp[i][W]+dp[i][Y])$

则有

$$\left( \begin{array}{ccc} dp[i][R]\\dp[i][B]\\dp[i][W]\\dp[i][Y]\\dp[i-1][R]\\dp[i-1][B]\\dp[i-1][W]\\dp[i-1][Y]\\S[i-1] \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 0&0&1&1&0&-1&0&0&0\\ 0&0&1&1&-1&0&0&0&0\\ 1&1&0&0&0&0&0&0&0\\ 1&1&0&0&0&0&0&0&0\\ 1&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&1&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0&0&0&0\\ 1&1&1&1&0&0&0&0&1\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} dp[i-1][R]\\dp[i-1][B]\\dp[i-1][W]\\dp[i-1][Y]\\dp[i-2][R]\\dp[i-2][B]\\dp[i-2][W]\\dp[i-2][Y]\\S[i-2] \end{array} \right)$$
做矩阵快速幂求出$S[n]$即得到所有长度不超过$n$的字符串数量，但是注意到反序视作一种，但直接对$S[n]$除以$2$是不对的，因为有一些字符串本身就是回文的， 故要求长度为$n$的回文串数量，即$S[\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor]$，答案即为$\frac{S[n]+S[\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor]}{2}$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=100001;
typedef ll M[9][9];
const int p=1e9+7,inv2=500000004;
void Mul(M &A,M B)
{
    M C;
    for(int i=0;i<9;i++)
        for(int j=0;j<9;j++)
        {
            C[i][j]=0;
            for(int k=0;k<9;k++)C[i][j]+=A[i][k]*B[k][j]%p; 
        }
    for(int i=0;i<9;i++)
        for(int j=0;j<9;j++)
            A[i][j]=C[i][j]%p;
}
void Pow(M &A,ll k)
{
    M B;
    for(int i=0;i<9;i++)
        for(int j=0;j<9;j++)
            B[i][j]=(i==j);
    while(k)
    {
        if(k&1)Mul(B,A);
        Mul(A,A);
        k>>=1;
    }
    for(int i=0;i<9;i++)
        for(int j=0;j<9;j++)
            A[i][j]=B[i][j];
}
M A={
{0,0,1,1,0,p-1,0,0,0},
{0,0,1,1,p-1,0,0,0,0},
{1,1,0,0,0,0,0,0,0},
{1,1,0,0,0,0,0,0,0},
{1,0,0,0,0,0,0,0,0},
{0,1,0,0,0,0,0,0,0},
{0,0,1,0,0,0,0,0,0},
{0,0,0,1,0,0,0,0,0},
{1,1,1,1,0,0,0,0,1}};
//RBWY
int Solve(ll n)
{
    M B;
    for(int i=0;i<9;i++)
            for(int j=0;j<9;j++)
                B[i][j]=A[i][j];
    Pow(B,n);
    int ans=0;
    for(int i=0;i<4;i++)ans=(ans+B[8][i])%p;
    for(int i=0;i<9;i++)
        for(int j=0;j<9;j++)
            B[i][j]=A[i][j];
    Pow(B,(n+1)/2);
    for(int i=0;i<4;i++)ans=(ans+B[8][i]+p)%p;
    return (ll)ans*inv2%p;
}
int main()
{
    ll L,R;
    while(~scanf("%I64d%I64d",&L,&R))
    {
        int ans=(Solve(R)-Solve(L-1)+p)%p;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}