HDU 6143 Killer Names（容斥原理）

最新推荐文章于 2021-01-31 16:30:00 发布

v5zsq

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分类专栏： HDU 组合数学

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本文探讨了使用不同字符构造两个无交集字符串的问题，并提供了一种解决方案，利用容斥原理来计算所有可能的方案数量。文章给出了具体的算法实现，包括初始化组合数、计算幂次、最终求解等步骤。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

拿 $m$ 个不同的字符构造两个长度为 $n$ 的串，要求这两个串所用字母无交集，问方案数

Input

第一行一个整数 $T$ 表示用例组数，每组用例输入两个整数 $n$ 和 $m$ $(T\le 10,1\le n,m\le 2000)$

Output

输出方案数，结果模 $10^9+7$

Sample Input

2
3 2
2 3

Sample Output

2
18

Solution

简单容斥，一个串恰用 $i$ 个不同字符的方案数 $f(i)=\sum\limits_{j=0}^iC_i^j(-1)^j(i-j)^n$ ， $ans=\sum\limits_{i=1}^{m-1}C_m^if(i)(m-i)^n$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 2005
#define mod 1000000007
int C[maxn][maxn],a[maxn];
int inc(int x,int y)
{
    return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;
}
int dec(int x,int y)
{
    return x-y<0?x-y+mod:x-y;
}
void init(int n=2000)
{
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        C[i][0]=C[i][i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)C[i][j]=inc(C[i-1][j-1],C[i-1][j]);
    }
}
int mod_pow(int a,int b)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=(ll)ans*a%mod;
        a=(ll)a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    init();
    int T,n,m;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=0;i<m;i++)a[i]=mod_pow(i,n);
        int ans=0;
        for(int i=1;i<m;i++)
        {
            int num=0;
            for(int j=0;j<=i;j++)
                if(j&1)num=dec(num,(ll)a[i-j]*C[i][j]%mod);
                else num=inc(num,(ll)a[i-j]*C[i][j]%mod);
            ans=inc(ans,(ll)num*C[m][i]%mod*a[m-i]%mod);
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}