HDU 6142 Jedi Council（最小割-Dinic）

Description

$n$个值$w_i$，每个值要么是$w$要么是$-w$，给出$q$个限制，限制有三种：

$x\ y\ 0$$：w_x\le w_y$

$x\ y\ 1$$：w_x=w_y$

$x\ y\ 2$$：w_x<w_y$

要求给出满足上述条件的赋值使得$O=\sum\limits_{i=1}^nw_i+\sum\limits_{i=1}^pH_i$最小，输出最小值

其中$H_i=a_i|w_{x_i}-w_{y_i}|+b_i|w_{y_i}-w_{z_i}|+c_i|w_{z_i}-w_{x_i}|+d_i(w_{x_i}-w_{y_i})+e_i(w_{y_i}-w_{z_i})+f_i(w_{z_i}-w_{x_i})$

Input

第一行一整数$T$表示用例组数，每组用例首先输入四个整数$n,w,p,q$，之后$p$行每行九个整数$x_i,y_i,z_i,a_i,b_i,c_i,d_i,e_i,f_i$，最后$q$行每行三个整数$x,y,op$表示一组限制

$(1\le n\le 500,0\le w\le 10^6,1\le p,q,a_i,b_i,c_i,d_i,e_i,f_i\le 1000,1\le x_i,y_i,z_i,x,y\le n$

Output

输出$O$的最小值

Sample Input

1
3 1 1 1
1 2 3 1 1 1 1 1 1
1 2 2

Sample Output

3

Solution

由$|a-b|+(a-b)=2\cdot max\{a-b,0\}$知

$H_i=2a_i\cdot max\{w_{x_i}-w_{y_i},0\}+2b_i\cdot max\{w_{y_i}-w_{z_i},0\}+2c_i\cdot max\{w_{z_i}-w_{x_i},0\}$

$+((d_i-a_i)-(f_i-c_i))w_{x_i}+((e_i-b_i)-(d_i-a_i))w_{y_i}+((f_i-c_i)-(e_i-b_i))w_{z_i}$

最小割的另一种解释：令源点$S$为$0$，汇点$T$为$1$，给每个点$i$赋一个值$x_i=0$或$x_i=1$，那么最小割本质上是把$n$个点分成两个集合，使得花费$\sum\limits_{u,v}max\{x_v-x_u\}\cdot f(u,v)$最小，其中$f(u,v)$表示$u$到$v$的流量

本题类似的把$n$个点分成两个集合，一个集合赋值为$-w$，另一个集合赋值为$w$，把所有点的点权加上$w$，则点的值变成为$0$或$2w$，把单位点权取为$w$，最后算出的值乘上w即为答案，系数$2$体现在容量上即可

一.对于形如$a\cdot max\{w_x-w_y\}$的项从$y$到$x$建容量为$2a$的边即可

二.对于形如$a\cdot w_x$的项，首先由于$w_x$都被加上了$w$，所以先在答案中减掉$a$

1.当$a>0$时，$a\cdot w=a\cdot max\{w_x-0,0\}$，从源点向$x$建容量为$2a$的边

2.当$a<0$时，$a\cdot w=-a\cdot max\{1-w_x,0\}+a$，从$x$向汇点容量为建$-2a$的边，多加的$2a$要在答案中减掉

三.对于限制$x\ y\ op$

1.当$op=0$时，$w_x\le w_y$，说明不能出现$w_x>w_y$的情况，从$y$到$x$建容量为无穷的边即可

2.当$op=1$时，$w_x=w_y$，即为$w_x\le w_y$且$w_y\le w_x$，从$x$到$y$ 、从$y$到$x$均建容量为无穷的边

3.当$op=2$时，$w_x<w_y$，即为$w_x\le0$且$w_y\ge 1$，从源点向$x$ 、从$x$向汇点均建容量为无穷的边

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 505 
#define maxm 20005
#define INF 0x3f3f3f3f
int head[maxn],cur[maxn],d[maxn],st[maxm],s,e,no;//s为源点,e为汇点,n为点数,no为边数 
struct point
{
    int u,v,flow,next;
    point(){};
    point(int x,int y,int z,int w):u(x),v(y),next(z),flow(w){};
}p[maxm];
void add(int x,int y,int z)//从x到y建容量为z的边 
{
    p[no]=point(x,y,head[x],z);//前向弧,标号为偶 
    head[x]=no++;
    p[no]=point(y,x,head[y],0);//后向弧,标号为奇 
    head[y]=no++;
}
void init()//初始化 
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    no=0;
}
bool bfs()
{
    int i,x,y;
    queue<int>q;
    memset(d,-1,sizeof(d));
    d[s]=0; 
    q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        x=q.front();    
        q.pop();
        for(i=head[x];i!=-1;i=p[i].next)
        {
            if(p[i].flow&& d[y=p[i].v]<0)
            {
                d[y]=d[x]+1;
                if(y==e)    
                    return true;
                q.push(y);
            }
        }
    }
    return false;
}
int dinic()//最大流 
{
    int i,loc,top,x=s,nowflow,maxflow=0;
    while(bfs())
    {
        memcpy(cur,head,sizeof(head));
        top=0;
        while(true)
        {
            if(x==e)
            {
                nowflow=INF;
                for(i=0;i<top;i++)
                {
                    if(nowflow>p[st[i]].flow)
                    {
                        nowflow=p[st[i]].flow;
                        loc=i;
                    }
                }
                for(i=0;i<top;i++)
                {
                    p[st[i]].flow-=nowflow;
                    p[st[i]^1].flow+=nowflow;
                }
                maxflow+=nowflow;
                top=loc;    
                x=p[st[top]].u;
            }
            for(i=cur[x];i!=-1;i=p[i].next)
                if(p[i].flow&&d[p[i].v]==d[x]+1) 
                    break;
            cur[x]=i;
            if(i!=-1)
            {
                st[top++]=i;
                x=p[i].v;
            }
            else 
            {
                if(!top)    
                    break;
                d[x]=-1;
                x=p[st[--top]].u;
            }
        }
    }
    return maxflow;
}
int T,n,W,P,Q,num[maxn]; 
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d%d%d",&n,&W,&P,&Q);
        s=0,e=n+1;
        init();
        for(int i=1;i<=n;i++)num[i]=1;
        while(P--)
        {
            int x,y,z,a,b,c,d,e,f;
            scanf("%d%d%d%d%d%d%d%d%d",&x,&y,&z,&a,&b,&c,&d,&e,&f);
            add(y,x,4*a),add(z,y,4*b),add(x,z,4*c);
            num[x]+=(d-a)-(f-c),num[y]+=(e-b)-(d-a),num[z]+=(f-c)-(e-b);
        }
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(num[i]>0)ans-=num[i],add(s,i,2*num[i]);
            else if(num[i]<0)ans+=num[i],add(i,e,-2*num[i]);
        while(Q--)
        {
            int x,y,op;
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&op);
            if(op==0)add(y,x,INF);
            else if(op==1)add(x,y,INF),add(y,x,INF);
            else add(s,x,INF),add(y,e,INF);
        }
        ans+=dinic();
        printf("%I64d\n",(ll)ans*W);
    }
    return 0;
}