GYM 100694 L.Hanoi Towers and the Progress（dp）

最新推荐文章于 2018-08-28 20:00:09 发布

v5zsq

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分类专栏： GYM dp

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本文探讨了经典汉诺塔问题的一种变种——引入k个额外塔来优化盘子转移过程。通过数学推导，文章给出了求解该问题所需最少步骤的公式，并附带实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description
在经典汉诺塔的基础上给出k个只能放一个盘子的塔，问把一个高度为n的塔转移到另一个塔需要的最少步数
Input
输入塔高n和额外的塔数k(1<=n<=1e9,1<=k<=1e9)
Output
Sample Input
3 0
Sample Output
7
Solution
对于经典汉诺塔，假设是把第一个塔上的n个盘子移到第二个塔，以dp[i]表示把i个塔做这样的转移所需的步数，那么有dp[n]=dp[n-1]+1+dp[n-1]=2*dp[n-1]+1，解得dp[n]=2^n-1，其中第一部分表示先把上面n-1个盘子移到第三个塔，然后第二部分表示把第n个盘子放在第二个塔，第三部分表示把第三个塔上的n-1个盘子转移到第二个塔上
经典汉诺塔问题中多出的两个塔一个用来临时放盘子，另一个是要放转移后的盘子，现在多出k个，那么每次就不用只拿出一个盘子，而是可以拿出k+1个作为一块，在块与块之间进行与经典汉诺塔同样的转移，那么每次把k+1个盘子拿出来需要k+1步，把k+1个盘子摞起来需要k步，所以把k+1个盘子拿出来再摞成一块需要2k+1步，那么把t*(k+1)个盘子转移就需要dp[t] * (2k+1)，对于多出的n%(k+1):=x个盘子，有两种情况，一种是把上面x个独立成一块，一种是把下面x个独立成一块，第二种情况的方案数是dp[t]+2x-1+dp[t]，对于第一种情况，把上面x个盘子看作一个整体，每次转移先用2x-1步把这块拿开，等到拿出k+1个盘子后再用2x-1步把这块放回去，那么随着下面t块(k+1)的转移，总共需要(dp[t]+1) * (2x-1)次，多出的2x-1是最后要把这一块放在已经放好的t*(k+1)个盘子上
Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 3
const ll mod=1e9+7;
typedef long long ll;
ll mod_pow(ll a,ll b,ll c)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=ans*a%c;
        a=a*a%c;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    ll n,k;
    while(~scanf("%I64d%I64d",&n,&k))
    {
        ll x=n%(k+1);
        ll ans=(mod_pow(2,n/(k+1),mod)-1+mod)%mod*(2ll*k+1)%mod;
        if(x)ans+=mod_pow(2,n/(k+1),mod)*(2ll*x-1)%mod;
        ans=(ans%mod+mod)%mod;
        printf("%I64d\n",ans);
    }
}