GYM 100827 H.Pushups（01背包）

最新推荐文章于 2022-03-18 10:48:56 发布

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背包问题

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本文介绍了一个算法问题：如何使用特定的数字集构造一个序列，使该序列的前缀和之和等于给定值的同时，序列本身的和达到最大。通过将问题转化为01背包问题，并采用动态规划求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description
给出m种数字，每种数字无限，要求用这些数字构成一个序列，使得保证该序列的前缀和的和为n的前提下使得该序列的和最大
Input
第一行一整数T表示用例组数，每组用例首先输入两整数n和m分别表示要求构造序列的前缀和的和以及数字个数，之后m个整数s[i] (1<=T<=20,1<=n<=5000,1<=m<=10,1<=s[i]<=20)
Output
如果存在合法解则输出最大的序列和，否则输出-1
Sample Input
4
29 3
7 3 2
15 1
1
16 1
1
6 2
3 1
Sample Output
14
5
-1
3
Solution
首先该序列长度不超过100，因为就算全是1，100个1的前缀和的和也是100*(100+1)/2=5050，对于要构造的序列，在计算其前缀和的和时，最后一个数字会被计算一次，倒数第二个数字会被计算两次，倒数第i个数字会被计算i次，所以问题变成了，有一个容量为n的背包，很多种物品，但是在倒数第i个位置放第j个物品时其容量是i*s[j]，价值是s[j]，问放满背包能够得到的最大价值，即01背包问题，用dp[i][j]表示放好最后i个数字时前缀和的和为j的所能得到的最大序列和，那么答案就是max(dp[i][n]},1<=i<=100，时间复杂度O(100*10*5000)
Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 5555
int T,n,m,s[11],dp[111][maxn];
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d",&s[i]);
        memset(dp,-1,sizeof(dp));
        dp[0][0]=0;
        for(int i=1;i<=100;i++)
        {
            for(int k=1;k<=m;k++)
                for(int j=i*s[k];j<=n;j++)
                    if(dp[i-1][j-i*s[k]]!=-1)
                        dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-i*s[k]]+s[k]);          
        }
        int ans=dp[1][n];
        for(int i=2;i<=100;i++)ans=max(ans,dp[i][n]);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}