HDU 4497 GCD and LCM（素因子分解+组合数学）

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本文深入探讨了一种求解特定数学问题的方法，即在已知最小公倍数(lcm)和最大公约数(gcd)的情况下，如何找出满足条件的x, y, z组合数量。通过详细解释算法逻辑、关键步骤和示例输入输出，文章旨在为解决类似编程挑战提供清晰路径。

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Description
已知lcm,gcd其中gcd=gcd(x,y,z),lcm=lcm(x,y,z),问有x，y，z多少种组合使得关系成立( (1,3,2)和(1,2,3)是不同解 )
Input
第一行为用例组数T，每组用例占一行包括两个整数gcd和lcm
Output
对于每组用例，输出解的个数
Sample Input
2
6 72
7 33
Sample Output
72
0
Solution
显然若lcm%gcd!=0时无解，令n=lcm/gcd，对n质因数分解后得到n=p1^k1*p2^k2*…*pm^km，那么必然有
a/g=p1^a1*p2^a2*…*pm^am
b/g=p1^b1*p2^b2*…*pm^bm
c/g=p1^c1*p2^c2*…*pm^cm
所以对于任意i(1<=i<=m)，都有min(ai,bi,ci)=0,max(ai,bi,ci)=ki，当ai,bi,ci三者之中居中者取1~ki-1时，总共有6*(ki-1)种情况，当取0或者ki时，有2*3=6种情况，所以对于每个i，都有6*(ki-1)+6=6*ki种情况，所以枚举n的所有质因子幂级数k每次累乘6*k即可
Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll lcm,gcd;
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld",&gcd,&lcm);
        ll n=lcm/gcd;
        ll ans=lcm%gcd?0:1;//lcm%gcd!=0显然无解 
        for(ll i=2;i*i<=n;i++)//对n分解质因数 
        {
            ll m=0;//m是n某一素因子的幂级数 
            if(n%i)continue;
            while(n%i==0)
                m++,n/=i;
            ans=ans*6*m;
        }
        if(n!=1)//n仍然不等于1说明此时n是一个大素数 
            ans*=6;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}