向量
定义
线性代数上，对于一个 nnn 维向量就是一个长度为 nnn 的数组 aaa，其中 ai∈Fa_i\in Fai∈F，FFF 一般为 R\RR 或 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \C at position 1: \̲C̲。
运算
数乘
对于向量 α=(a1,a2,⋯ ,an)\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)α=(a1,a2,⋯,an) 和 k∈Fk\in Fk∈F，定义 kα=(ka1,ka2,⋯ ,kan)k\alpha=(ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)kα=(ka1,ka2,⋯,kan)，相当于对 α\alphaα 中每一项乘 kkk。运算结果为一个向量。
求和
对于向量 α=(a1,⋯ ,an),β=(b1,⋯ ,bn)\alpha=(a_1,\cdots,a_n),\beta=(b_1,\cdots,b_n)α=(a1,⋯,an),β=(b1,⋯,bn)，定义 α+β=(a1+b1,⋯ ,an+bn)\alpha+\beta=(a_1+b_1,\cdots,a_n+b_n)α+β=(a1+b1,⋯,an+bn)，即对应项分别相加。运算结果同上。
内积
对于向量 α,β\alpha,\betaα,β，要求内积运算 (α,β)(\alpha,\beta)(α,β) 的结果为 FFF 中的一个数，且满足：
- 对称性：(α,β)=(β,α)(\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)(α,β)=(β,α)；
- 两个线性性：
- (α+γ,β)=(α,β)+(γ,β)(\alpha+\gamma,\beta)=(\alpha,\beta)+(\gamma,\beta)(α+γ,β)=(α,β)+(γ,β)；
- 对于 c∈Fc\in Fc∈F，(cα,β)=c(α,β)(c\alpha,\beta)=c(\alpha,\beta)(cα,β)=c(α,β)；
- 正定性：(α,α)≥0(\alpha,\alpha)\ge 0(α,α)≥0，当且仅当 α\alphaα 为零向量时取等号。
当 FFF 为 R\RR 时，我们一般定义内积运算 (α,β)=a1b1+a2b2+⋯+anbn(\alpha,\beta)=a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n(α,β)=a1b1+a2b2+⋯+anbn，即对应项相乘后求和；对于二维向量 α,β\alpha,\betaα,β，(α,β)(\alpha,\beta)(α,β) 即为点积运算 α⋅β\alpha\cdot\betaα⋅β。内积的运算结果为一个属于 FFF 的数。
矩阵
概念
由 m×nm\times nm×n 个数排列成的 mmm 行 nnn 列矩形数表，称为一个 m×nm\times nm×n 矩阵。矩阵实际上表示的是向量和向量的关系，而一个 nnn 维向量即为一个 n×1n\times 1n×1 的矩阵。
[a11⋯a1n⋮⋱⋮am1⋯amn]
\begin{bmatrix}
a_{11}& \cdots& a_{1n}\\
\vdots& \ddots&\vdots \\
a_{m1}& \cdots& a_{mn}
\end{bmatrix}
a11⋮am1⋯⋱⋯a1n⋮amn
运算
数乘、加法
数乘、加法运算与向量类似。
乘法
对于矩阵 A=(aij)m×r,B=(bij)r×nA=(a_{ij})_{m\times r},B=(b_{ij})_{r\times n}A=(aij)m×r,B=(bij)r×n，则令 AB=C=(cij)m×nAB=C=(c_{ij})_{m\times n}AB=C=(cij)m×n，定义
cij=∑k=1raik×bkj
c_{ij}=\sum_{k=1}^r a_{ik}\times b_{kj}
cij=k=1∑raik×bkj
cijc_{ij}cij 其实就是 aaa 的第 iii 行与 bbb 的第 jjj 列分别组成的向量求内积。矩阵乘法符合结合律但是不符合交换律。
计算
[x100x100x]n \begin{bmatrix}x&1&0\\0&x&1\\0&0&x\end{bmatrix}^n x001x001xn
我们令单位矩阵 III 为从左上到右下对角线为 111 其余为 000 的矩阵，这里 I=[100010001]I=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}I=100010001，单位矩阵满足任何矩阵乘或乘以 III 得到的都是这个矩阵。那么
[x100x100x]n=(Ix+[010001000])n
\begin{aligned}\begin{bmatrix}x&1&0\\0&x&1\\0&0&x\end{bmatrix}^n&=\left(Ix+\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}\right)^n\end{aligned}
x001x001xn=Ix+000100010n
可以发现后面的矩阵在求立方后就变为全 000 了，因为 IxIxIx 是单位矩阵，满足“交换律”，于是我们考虑二项式展开，只保留前三项即可。过程略。
已知 A1=2,A2=3,An=4An−2+3An−1A_1=2,A_2=3,A_n=4A_{n-2}+3A_{n-1}A1=2,A2=3,An=4An−2+3An−1，求 AnA_nAn。
我们不妨构造矩阵 [An−1An]\begin{bmatrix}A_{n-1}\\A_{n}\end{bmatrix}[An−1An]，考虑由 [An−2An−1]\begin{bmatrix}A_{n-2}\\A_{n-1}\end{bmatrix}[An−2An−1] 进行矩阵乘法转移。我们构造转移矩阵 [0143]\begin{bmatrix}0&1\\4&3\end{bmatrix}[0413]，转移即为
[An−1An]=[0143]×[An−2An−1]
\begin{bmatrix}A_{n-1}\\A_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\4&3\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}A_{n-2}\\A_{n-1}\end{bmatrix}
[An−1An]=[0413]×[An−2An−1]
转移矩阵即可快速幂进行优化。构造过程就考虑矩阵乘法的本质——行向量与列向量的内积。
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