2024 信友队 noip 冲刺 9.1

向量

定义

线性代数上，对于一个 $n$ 维向量就是一个长度为 $n$ 的数组 $a$，其中 $a_i\in F$，$F$ 一般为 $\mathbb{R}$ 或 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \C at position 1: \̲C̲。

运算

数乘

对于向量 $\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$ 和 $k\in F$，定义 $k\alpha =(k{a}_1,k{a}_2,\cdots ,k{a}_n)$，相当于对 $\alpha$ 中每一项乘 $k$​。运算结果为一个向量。

求和

对于向量 $\alpha =(a_1,\cdots ,a_n),\beta =(b_1,\cdots ,b_n)$，定义 $\alpha +\beta =(a_1+b_1,\cdots ,a_n+b_n)$，即对应项分别相加。运算结果同上。

内积

对于向量 $\alpha ,\beta$，要求内积运算 $(\alpha ,\beta )$ 的结果为 $F$ 中的一个数，且满足：

• 对称性：$(\alpha ,\beta )=(\beta ,\alpha )$；
• 两个线性性：
  • $(\alpha +\gamma ,\beta )=(\alpha ,\beta )+(\gamma ,\beta )$；
  • 对于 $c\in F$，$(c\alpha ,\beta )=c(\alpha ,\beta )$；
• 正定性：$(\alpha ,\alpha )\ge 0$，当且仅当 $\alpha$ 为零向量时取等号。

当 $F$ 为 $\mathbb{R}$ 时，我们一般定义内积运算 $(\alpha ,\beta )=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$，即对应项相乘后求和；对于二维向量 $\alpha ,\beta$，$(\alpha ,\beta )$ 即为点积运算 $\alpha \cdot \beta$。内积的运算结果为一个属于 $F$ 的数。

矩阵

概念

由 $m\times n$ 个数排列成的 $m$ 行 $n$ 列矩形数表，称为一个 $m\times n$ 矩阵。矩阵实际上表示的是向量和向量的关系，而一个 $n$ 维向量即为一个 $n\times 1$ 的矩阵。
$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$$

运算

数乘、加法

数乘、加法运算与向量类似。

乘法

对于矩阵 $A=(a_{ij}{)}_{m\times r},B=(b_{ij}{)}_{r\times n}$，则令 $AB=C=(c_{ij}{)}_{m\times n}$，定义
$$c_{ij}=\sum _{k=1}^r{a}_{ik}\times b_{kj}$$
$c_{ij}$ 其实就是 $a$ 的第 $i$ 行与 $b$ 的第 $j$ 列分别组成的向量求内积。矩阵乘法符合结合律但是不符合交换律。

计算
$${\left[\begin{array}{ccc}x& 1& 0\\ 0& x& 1\\ 0& 0& x\end{array}\right]}^n$$

我们令单位矩阵 $I$ 为从左上到右下对角线为 $1$ 其余为 $0$ 的矩阵，这里 $I=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$，单位矩阵满足任何矩阵乘或乘以 $I$ 得到的都是这个矩阵。那么
$$\begin{array}{rl}{\left[\begin{array}{ccc}x& 1& 0\\ 0& x& 1\\ 0& 0& x\end{array}\right]}^n& ={\left(Ix+\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\right)}^n\end{array}$$
可以发现后面的矩阵在求立方后就变为全 $0$ 了，因为 $Ix$ 是单位矩阵，满足“交换律”，于是我们考虑二项式展开，只保留前三项即可。过程略。

已知 $A_1=2,A_2=3,A_n=4A_{n-2}+3A_{n-1}$，求 $A_n$。

我们不妨构造矩阵 $\left[\begin{array}{c}{A}_{n-1}\\ A_n\end{array}\right]$，考虑由 $\left[\begin{array}{c}{A}_{n-2}\\ A_{n-1}\end{array}\right]$ 进行矩阵乘法转移。我们构造转移矩阵 $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 4& 3\end{array}\right]$，转移即为
$$\left[\begin{array}{c}{A}_{n-1}\\ A_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 4& 3\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{A}_{n-2}\\ A_{n-1}\end{array}\right]$$
转移矩阵即可快速幂进行优化。构造过程就考虑矩阵乘法的本质——行向量与列向量的内积。