2024 信友队 noip 冲刺 8.30

拉了场 ARC 下来当模拟赛:/

T1

考虑 dp，设 $f(i,0/1)$ 表示考虑到第 $i$ 个元素，是正是负，再设一个 $g(i,0/1)$ 表示 $a_i$ 是正是负的方案数辅助转移。然后就做完了。

const int maxn = 1e5 + 5, P = 1e9 + 7;
int a[maxn], n;
int f[maxn][2], g[maxn][2];
int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
	f[1][0] = a[1], f[1][1] = 0, g[1][0] = 1, g[1][1] = 0;
	for (int i = 2; i <= n; i ++) { 
		g[i][0] = (1ll * g[i - 1][0] + g[i - 1][1]) % P, g[i][1] = g[i - 1][0];
		f[i][0] = ((1ll * f[i - 1][0] + 1ll * f[i - 1][1]) % P + 1ll * g[i][0] * a[i] % P) % P,
		f[i][1] = ((1ll * f[i - 1][0] + P) - 1ll * g[i][1] * a[i] % P) % P;
	}
	printf("%lld\n", (1ll * f[n][0] + 1ll * f[n][1]) % P);
	return 0;
}

T2

一眼盯真，把 $x$ 取遍 $\frac{a_i}{2}$ 一定会取到最优解，从小到大排序，求个后缀和，分成 $[1,i]$ 和 $[i+1,1]$ 两部分贡献，加起来求个 $\min$ 最后除以 $n$ 即可。

const int maxn = 1e5 + 5, P = 1e9 + 7;
#define ll long long
int a[maxn], n;
ll sum[maxn];
int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
	sort(a + 1, a + n + 1); 
	for (int i = 1; i <= n; i ++) sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
	double all_ans = 2e18;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		double x = a[i] / 2.0;
		double pre = x * i, suf = sum[n] - sum[i] - x * (n - i);
		if (pre + suf < all_ans) all_ans = pre + suf;
	} all_ans /= n;
	return printf("%.12lf", all_ans), 0;
}

T3

发现交替进行 $3,4$ 操作增长速度最快，发现是斐波那契数列，一开始想的是构造数列的前两个元素，于是套了个 exgcd 求最小整数解，然后错完了。正解是考虑在交替过程中插入 $1,2$ 操作进行微调，发现在交替过程中插入一个 $+1$ 操作，再执行 $k$ 轮会使增量变成 $f(k)$，把 $n$ 拆成若干 $f$ 的项的和，交替过程中预判和讨论一下是否需要插入 $+1$ 操作即可。操作次数刚好卡到上限。

#define int long long //:/
const int maxn = 87;
int fib[maxn], n; bool chs[maxn];
signed main() {
	fib[1] = 1;
	for (int i = 2; i < maxn; i ++) 
		fib[i] = fib[i - 1] + fib[i - 2];
	scanf("%lld", &n);
	for(int i = maxn - 1; i >= 1; i --) 
		if (n >= fib[i]) 
		 	chs[i] = 1, n -= fib[i];
	vector<char> ans; bool apr = 0;
	if (chs[maxn - 1]) ans.push_back(2), apr = 1;
	for (int i = 1; i <= (maxn >> 1); i ++) {
		if (apr) ans.push_back(4), ans.push_back(3);
		if (chs[(maxn - 1) - i * 2 + 1]) ans.push_back(1), apr = 1;
		if (chs[(maxn - 1) - i * 2]) ans.push_back(2), apr = 1; 
	} printf("%d\n", ans.size());
	for (auto x : ans) printf("%d\n", x);
 	return 0;
}

T4

赛时并没有想出来。观察到 Alice 非常被动，没有绝对的最大化策略，于是被 Bob 薄纱，只需考虑最小化即可，原题从博弈论变成两两分组使得异或值的最大值最小。贪心地从最高位开始考虑，然后在 01Trie 上神奇分类讨论。