P3639 [APIO2013] 道路费用题解-优快云博客

文章讲述了如何在给定无向图中，通过优化Kruskal算法和并查集操作，自定义k条边的边权，使得这些边在最小生成树中的贡献最大化。关键步骤包括构建初始最小生成树、缩点、并行处理贡献计算和边集选择。

题意

给定一张 $n$ 个点 $m + k$ 条边的无向图，点有点权 $p_x$ ，边有边权 $c (u, v)$ 。在原图的最小生成树中，对于一条边 $(u, v)$ ，它产生的贡献为 $c(u,v)×pxc(u,v)\times p_x$ ，其中的点 $x$ 在树上到 $1$ 的路径中必须含有 $(u, v)$ 这条边。

你可以自定义其中指定的 $k$ 条边的边权，使得这些边产生的贡献最大，求这些边的贡献之和。如果边不在最小生成树中则贡献为 $0$ 。

$k≤20,n≤105,m≤3×105k\le20,n\le10^5,m\le3\times10^5$ 。保证边权互不相同。

解法

$k$ 只有 $20$ ，所以我们可以 $O(2^k)$ 枚举 $k$ 中的哪几条边最终被放进了最小生成树中，然后算出这几条边边权最多可以取多少，使得这些边全部都在树中。其他自定义的边我们可以将它们的权值设为 $+∞+\infty$ ，不做考虑。

设当前枚举到的边集为 $K^{'}$ ，已经给定边权的边集为 $M$ ，待定边权的边集为 $K$ 。想让最小生成树中一定包含 $K^{'}$ ，可以在算最小生成树时将 $K^{'}$ 中的边提前加入树中（也需要保持树结构），然后才按照边权大小考虑 $M$ 中的边。

对于 $K^{'}$ 中边的边权上界，可以利用一个最小生成树的性质：对于一条非树边 $(u, v)$ ，那么如果将其加入树中一定会形成环，而环上树边的权值都小于等于 $c (u, v)$ ，否则 $(u, v)$ 就会变成树边。所以在算完生成树后，枚举 $M$ 中每条非树边 $(u, v)$ ， $u→lcau\to lca$ 和 $v→lcav\to lca$ 两条链上属于 $K^{'}$ 的边的边权都必须小于等于 $c (u, v)$ 。

计算贡献就以 $1$ 为根遍历整棵最小生成树即可，具体见实现。但这样复杂度为 $O(2^km+m\log m)$ （提前排好序），瓶颈在于每次都必须把 $M$ 中的边全部考虑完。

设想一下，如果把 $K$ 中的边全提前加入树中，此时树上属于 $M$ 的边最少，那么这些属于 $M$ 的边（边集记为 $M^{'}$ ），不论你怎么选 $K^{'}$ ， $M^{'}$ 中的边一定都会在最小生成树上。其他情况下，如果 $M^{'}$ 中的某几条边不在最小生成树上，那么说明有更优的 $M$ 中的边可以替代，那么这些更优的边就会在 $M^{'}$ 中替代这几条边。

所以我们可以先算出 $M^{'}$ ，因为边权互不相同，所以 $M^{'}$ 是确定的。对于其中边组成的一个连通块，即使选择不一样的 $K^{'}$ ，最小生成树中这个连通块的部分选择的边就是不变的。所以我们就可以把这么多个连通块缩成一个点，每次跑最小生成树就不再需要考虑这个点的内部边的情况了。

$M^{'}$ 可以认为是将 $K$ 全放进最小生成树中，算完整棵树后再把 $K$ 全部删掉后剩下的边，所以一共有 $K + 1$ 个连通块。我们在删除 $K$ 后对 $M$ 中的边继续跑最小生成树，把树构建完整。此时新加的连接着两个不同连通块的 $k$ 条边（相当于替代了原来 $K$ 中边的作用），就可以和每轮枚举的 $K^{'}$ 中的边组成最终的最小生成树了。

于是，每轮最小生成树还需要考虑的边就只剩下了 $2 k$ 条。

实现

首先第一遍 Kruskal 跑出 $M^{'}$ ，开两个并查集 $F, G$ ，缩点也可以利用并查集 $G$ ，在加完 $K$ 中的边后再加的边就是组成连通块的边，对于这些边在合并完 $F$ 后另外再把 $G$ 也合并了。由于我们只关心 $K^{'}$ 中边的贡献，所以每个连通块内部的边的贡献是不重要的，只需要记录连通块内点的点权之和。

缩完点后，用并查集 $G$ 继续跑 Kruskal，记录这一轮 Kruskal 新加的边（边两端的点都代表一个连通块，记为 $n e wE$ ），然后就可以开始枚举 $K^{'}$ 了。我们用一个 $S$ 表示当前 $K^{'}$ 的选择，如果 $S$ 二进制第 $i$ 位为 $1$ 则说明 $K$ 中第 $i$ 条边被选进 $K^{'}$ 。

也是先将 $K^{'}$ 提前加入树中，再将 $n e wE$ 中的边加入树中，并记录这些边是否是树边。我们将 $(u, v)$ 这条边的贡献记录在 $u, v$ 中深度更深的点上。在树上跑 dfs 算出每个点的深度和子树中点的点权之和，然后枚举 $n e wE$ 中的非树边，把 $u→lcau\to lca$ 和 $v→lcav\to lca$ 上点所代表的边的上界进行更新。由于 $k$ 不大所以可以暴力跳祖先。

对于点 $u$ ，我们令子树点权之和为 $siz_u$ ， $u$ 连接其父亲的这条边边权上界为 $mx_u$ 。然后对于每条 $K^{'}$ 中的边 $(u, v)$ ，这条边对本轮答案产生的贡献即为 $u, v$ 中深度较大的点的 $s i z$ 与 $m x$ 之积。

代码

// 先将k条边全部加入后跑最小生成树
// 去掉k条边后缩点
// 然后就可以2^k跑
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 2e5 + 5, maxm = 1e6 + 5;
const int maxk = 50;
struct Edge { int w,u,v; } E[maxm],K[maxn];
int n,m,k;
int F[maxn], G[maxn];
int find(int u, bool op = true) { 
    if (op) return u == F[u] ? u : F[u] = find(F[u], true); 
    else return u == G[u] ? u : G[u] = find(G[u], false);
}
void unite(int u, int v, bool op = true) {
    if (op) F[u] = v;
    else G[u] = v;
}
void Kruskal1() {
    for (int i = 1;i <= n;i ++) F[i] = G[i] = i;
    for (int i = 1,u,v;i <= k;i ++) {
        u = find(K[i].u), v = find(K[i].v);
        if (u != v) unite(u,v);
    }
    sort(E + 1,E + m + 1,[&](const Edge &x,const Edge &y) { return x.w < y.w; });
    for (int i = 1,u,v;i <= m;i ++) {
        u = find(E[i].u), v = find(E[i].v);
        if (u == v) continue;
        unite(u,v); 
        u = find(E[i].u, false), v = find(E[i].v, false); 
        if (u != v) unite(u,v,false);
    }
}
int tot = 0, b[maxn]; ll sum[maxk];
ll p[maxn];
void Build() {
    for (int i = 1;i <= n;i ++) 
        if (find(i,false) == i)
            sum[b[i] = ++ tot] = p[i];
    for (int i = 1;i <= n;i ++) {
        int f = find(i,false);
        if (f == i) continue;
        sum[b[i] = b[f]] += p[i];
    }
}
Edge newE[maxm]; int cnt = 0;
void Kruskal2() {
    for (int i = 1,u,v;i <= m;i ++) {
        u = find(E[i].u,false), v = find(E[i].v,false);
        if (u == v) continue;
        newE[++ cnt] = Edge{E[i].w,b[E[i].u],b[E[i].v]};
        unite(u,v,false); 
    }
}
vector<int> mp[maxk];
void addEdge(int u,int v) { mp[u].push_back(v); }
int fa[maxk],dep[maxk]; ll siz[maxk];
void dfs(int u,int f) {
    dep[u] = dep[fa[u] = f] + 1;
    siz[u] = sum[u];
    for (auto v : mp[u]) {
        if (v == f) continue;
        dfs(v,u); siz[u] += siz[v];
    }
}
ll mx[maxk];
void update(int u,int v,ll w) {
    if (dep[u] < dep[v]) swap(u,v);
    while (dep[u] > dep[v])
        mx[u] = min(mx[u], w), u = fa[u];
    while (u != v) {
        mx[u] = min(mx[u], w);
        mx[v] = min(mx[v], w);
        u = fa[u], v = fa[v];
    }
}
bool vis[maxk];
void Kruskal(int s) {
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    for (int i = 1;i <= tot;i ++){
        F[i] = i;
        mp[i].clear();
    }
    for (int i = 1;i <= k;i ++) 
        if ((s >> (i - 1)) & 1) {
            int u = find(b[K[i].u]), v = find(b[K[i].v]);
            unite(u,v); 
            addEdge(b[K[i].u],b[K[i].v]); 
            addEdge(b[K[i].v],b[K[i].u]);
        }
    for (int i = 1;i <= cnt;i ++) {
        int u = find(newE[i].u), v = find(newE[i].v);
        if (u == v) continue;
        unite(u,v); vis[i] = true;
        addEdge(newE[i].u,newE[i].v); 
        addEdge(newE[i].v,newE[i].u); 
    }
}
ll ans = 0;
int main() {
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for (int i = 1;i <= m;i ++) 
        scanf("%d%d%d",&E[i].u,&E[i].v,&E[i].w);
    for (int i = 1;i <= k;i ++)
        scanf("%d%d",&K[i].u,&K[i].v), K[i].w = 0;
    for (int i = 1;i <= n;i ++)
        scanf("%lld",&p[i]);
    Kruskal1(); Build(); Kruskal2();
    for (int s = 0;s < (1ll << k);s ++) {
        Kruskal(s);
        memset(dep,0,sizeof(dep));
        memset(siz,0,sizeof(siz));
        dfs(b[1],0); ll res = 0;
        memset(mx,0x3f3f,sizeof(mx));
        for (int i = 1;i <= cnt;i ++)
            if (!vis[i]) update(newE[i].u, newE[i].v, (ll)newE[i].w);
        for (int i = 1;i <= k;i ++)
            if ((s >> (i - 1)) & 1) {
                int u = b[K[i].u], v = b[K[i].v];
                if (dep[u] < dep[v]) swap(u,v);
                res += mx[u] * siz[u];
            }
        ans = max(ans,res);
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}