多对独立源汇共享同一网络的网络流问题

基本模型：

给出多对源点、汇点$s_{i},t_{i}$。$s_{i}$只能流向$t_{i}$，不能流向其他汇点。 但是所有源汇共用同一个网络。

问题一：

$s_{i}$流向$t_{i}$的流量为$flow_i$，能够得到价值$k_i*flow_i$。
求该网络能获得的最大价值。

（暂时只知道线性规划解法）
设u流向v的流量限制为$c(u,v)$，第i对源汇从u留向v的流量为$f_i(u,v)$
为了方便，连接从$t_i$到$s_i$无流量限制的边，则$s_{i}$流向$t_{i}$的流量为$f_i(t_i,s_i)$

目标函数

$$\sum _{i=1}^{n}f_i(t_{i},s_{i})*k_i$$
约束条件 $$\sum _{v}f_i(u,v)=\sum _{v}f_i(v,u)$$
$$\sum _{i=1}^{n}f_i(u,v)\leq c(u,v)$$
$$f_i(u,v)\geq 0$$

问题二：

是否存在所有i满足$flow_i\geq k_i$的方案

只要把问题一的目标函数去掉，目标函数直接是 0
增加约束条件

$$f_i(t_{i},s_{i})\geq k_i$$
判断是否存在可行解。