bzoj 3112 从 线性规划 到 网络流 浙江oi2013 战线防守

线性规划约束条件中如果每个变量在且只在两个约束条件中出现，并且系数为+1、-1，则可构造出网络流模型。

题意：战线看作长度为n的序列，现在需要在这个序列上建塔，在i号位置上建一座塔有$c_i$花费。有m限制，每个限制形如区间[$l_i$,$r_i$]中至少有$d_i$个塔。求最小花费。

内容太长，先说网络流建图方法：
先搞s、t，再加n+2个结点(为了方便，前后各加一个)，i向i+1连边，容量无穷，费用0；
对于题目中给出的m个限制，$l_i-1$向$r_i$连边，容量无穷，费用$d_i$;
s向i连容量为$c_i+1$的边，费用0；i向t连容量为$c_i$的边，费用0；
跑最大费用最大流

思路：
设$s _i$为前i个位置塔的数量。
可以得到：

目标函数(最小化)：

$$\sum_{i=1}^{n}(s_{i}-s_{i-1})*c_i$$
约束条件： $$s_{r_i}-s_{l_{i}-1}\geq d_i$$ $$s_{i}-s_{i-1}\geq 0$$ $$s_i\geq 0$$

到这里，单纯形已经可搞啦！

注意到每个约束条件只有两个变量出现，并且是+1和-1，单纯形直接忽略了这个特性。
为了构造网络流模型，要先对原问题求对偶：
设$p_{r_i,l_i-1}$表示第一个约束条件对应的变量，$q_{i,i-1}$表示第二个约束条件对应的变量。
得到：

目标函数（最大化）

$$\sum_{i=1}^{n}p_{r_i,l_i-1}*d_i$$
约束条件 $$q_{i,i-1}-q_{i+1,i}+\sum_{j}p_{i,j} -\sum_{j}p_{j,i}\leq c_i-c_{i+1}$$ $$q,p\geq 0$$

将等式看作点，将变量看作边。由于每个变量只在两个等式出现，一正一负，恰好表示流入和流出。

把约束条件表示成松弛形式

$$q_{i,i-1}-q_{i+1,i}+\sum_{j}p_{i,j} -\sum_{j}p_{j,i}- c_i+c_{i+1}-a_i=0$$

上面这个等式，表示的是结点i，一次考虑每个变量来建边。
考虑q：i-1向i连边，费用0，容量无穷。
考虑p：对于每个题目给出的$r_i,l_i,d_i$，$l_i-1$向$r_i$连边，费用$d_i$，容量无穷。
考虑常数c：i向t连边，费用0，容量$c_i$并且设定流量下界$c_i$；s向i连边，费用0，容量$c_{i+1}$并且设定流量下界$c_{i+1}$
考虑a：i向t连边，费用0，容量无穷。

显然答案会在最大流时取到。
于是就可以用带上下界的 最大费用最大流求解了！

但是建图可以更优。
对于对偶后得到的约束条件，如果把他们左边右边全部叠加起来，会得到$0\leq0$。这说明为了满足约束条件，所有“$\leq$”必须取等号。即，在松弛形式中的a，始终等于0。所以关于a的边是没有必要的。

对于常数c，对应的边都是连向s和t的。s的所有出边的容量和为$\sum c_i$，t的所有入边也是$\sum c_i$，只要该问题有解（肯定有解），最大流时就一定满足下界的限制。所以下界可以去掉。
于是就可以用最大费用最大流求解啦！