01串出现奇数个1的方案数 2016四川省赛 Odd Discount

题目链接：https://acm.bnu.edu.cn/v3/problem_show.php?pid=52300

先证明结论，后说题目；
结论1：长度为n的01序列出现奇数个1的方案为总方案的1／2（即出现奇数个1和出现偶数个1的方案数相等）
证明：（数学归纳法）
n＝1的情况，显然成立；
如果n＝i成立：那么再额外增加1个1，奇数个1和偶数个1的方案会对调；再额外增加1个0，奇数个1和偶数个1的方案不变；因此n＝i＋1也成立；
所以长度为n的01序列出现奇数个1和出现偶数个1的方案数相等

结论2：长度为n的01序列，限制某长度为m的子序列出现奇数（或偶数）个1。满足条件的方案数为总方案的1／2（即$2^{n-1}$）
证明：由结论1知，子序列的合法方案为$2^{m-1}$，剩余部分可随便取，合法方案为$2^{n-m}$，故总的方案为$2^{n-1}$

结论3：长度为n的01序列，限制两个不同的子序列出现奇数（或偶数）个1。满足条件的方案数为总方案的1／4（即