倍增 || ST-RMQ 求LCA

原创已于 2023-03-24 18:53:05 修改 · 295 阅读

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#LCA

于 2019-01-24 14:55:21 首次发布

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最近公共祖先(LCA)

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本文深入解析了倍增与ST-RMQ两种求最近公共祖先(LCA)的算法实现。通过实例讲解了如何利用倍增技巧快速找到二叉树中任意两点的最近公共祖先，并介绍了ST-RMQ算法在LCA问题中的应用。代码示例清晰，适合初学者理解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

视频讲解戳这里(bj聚聚讲的非常好，一听就懂)

由luogu一道模板题讲起传送门 (~~都9102年，这题还卡输入输出，要吸氧才能过~~)

LCA：求两个点的最近公共祖先

倍增求LCA：

有很多博客图文并茂讲的非常清楚，倍增LCA的主要思想就是，先将u，v(保证u的深度更深)两点调整到同一水平线

情况一：u==v，那就说明最近公共祖先是u，这种情况说明u,v在同一边，祖先自然是深度较浅的那一个

情况二：u，v每次往上跳2的j次方(j从大到小)，如果二者所跳到的点相同，那就不跳，反之则跳，最后就落在了最近公共祖先的下一个位置

代码结合视频看起来更香噢：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=5e5+5;
const int maxbit=20;
int n,m,s;
int dep[maxn],fa[maxn][maxbit],lg[maxn];
//记录每个点的深度；fa[i][j],i点往上跳2^J的父亲节点；预处理log2，向下取整
vector<int> G[maxn];
void dfs(int np,int fat){ //当前节点，父亲节点
	dep[np]=dep[fat]+1;
	fa[np][0]=fat;
	for(int j=1;j<=lg[dep[np]]+1;++j){
		fa[np][j]=fa[fa[np][j-1]][j-1]; 
//np往上跳2^j的节点相当于先往上跳到2^(j-1)节点处再往上跳2^(j-1)
	}
	for(int i=0;i<(int)G[np].size();++i){
		if(G[np][i]!=fat){
			dfs(G[np][i],np);
		}
	}
}
int lca(int u,int v){
	if(dep[u]<dep[v])	swap(u,v);
	while(dep[u]!=dep[v]){ //调整平衡
		u=fa[u][lg[dep[u]-dep[v]]];
	}
	if(u==v)	return u; //情况一
	for(int i=lg[dep[u]];i>=0;--i){ //情况二
		if(fa[u][i]!=fa[v][i]){
			u=fa[u][i];
			v=fa[v][i];
		}
	}
	return fa[u][0];
}
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
	int x,y;
	lg[0]=-1;
	for(int i=1;i<maxn;++i){
		lg[i]=lg[i>>1]+1;
	}
	for(int i=1;i<=n-1;++i){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		G[x].push_back(y);
		G[y].push_back(x); 
	}
	dfs(s,0);
	for(int i=1;i<=m;++i){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		printf("%d\n",lca(x,y));
	}
	return 0;
}

纯净版：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=5e5+5;
const int maxbit=20;
int n,m,s;
int dep[maxn],fa[maxn][maxbit],lg[maxn];
vector<int> G[maxn];
void dfs(int np,int fat){
	dep[np]=dep[fat]+1;
	fa[np][0]=fat;
	for(int j=1;j<=lg[dep[np]]+1;++j){
		fa[np][j]=fa[fa[np][j-1]][j-1];
	}
	for(int i=0;i<(int)G[np].size();++i){
		if(G[np][i]!=fat){
			dfs(G[np][i],np);
		}
	}
}
int lca(int u,int v){
	if(dep[u]<dep[v])	swap(u,v);
	while(dep[u]!=dep[v]){
		u=fa[u][lg[dep[u]-dep[v]]];
	}
	if(u==v)	return u;
	for(int i=lg[dep[u]];i>=0;--i){
		if(fa[u][i]!=fa[v][i]){
			u=fa[u][i];
			v=fa[v][i];
		}
	}
	return fa[u][0];
}
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
	int x,y;
	lg[0]=-1;
	for(int i=1;i<maxn;++i){
		lg[i]=lg[i>>1]+1;
	}
	for(int i=1;i<=n-1;++i){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		G[x].push_back(y);
		G[y].push_back(x); 
	}
	dfs(s,0);
	for(int i=1;i<=m;++i){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		printf("%d\n",lca(x,y));
	}
	return 0;
}

ST-RMQ 求LCA：

先求一个dfs序列，那求u，v的lca就是u，v在dfs序中最早出现的位置之间深度最小的那一个，st[i][j]代表i~i+2^j区间中深度最小在dfs序中的下表。

代码结合视频看起来更香噢：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5e5+5;
const int maxbit=20;
vector<int> G[maxn];
int order[maxn<<2],depth[maxn<<2];
//深搜序列    //深度 
int lg[maxn<<2],st[maxn<<2][maxbit];
//预处理log   //st[i][j]代表i~i+2^j区间中深度最小编号 
int first_place[maxn];//dfs序中i最早出现的下标 
int n,m,s,cnt=0; 
inline int read(){
	char ch=getchar();
	int x=0,f=1;
	while((ch>'9'||ch<'0')&&ch!='-'){
		ch=getchar();
	}
	if(ch=='-'){
		f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while('0'<=ch&&ch<='9'){
		x=x*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}
void dfs(int np,int dep){
	++cnt;
	first_place[np]=cnt;
	order[cnt]=np;
	depth[cnt]=dep+1;
	for(int i=0;i<(int)G[np].size();++i){
		int to=G[np][i];
		if(first_place[to]==0){
			dfs(to,dep+1);
			++cnt;
			order[cnt]=np;
			depth[cnt]=dep+1;
		}
	}
}
void STinit(){
	for(int i=1;i<=cnt;++i){
		st[i][0]=i;
	}
	int a,b;
	for(int j=1;j<=lg[cnt];++j){
		for(int i=1;i+(1<<j)-1<=cnt;++i){
			a=st[i][j-1];
			b=st[i+(1<<(j-1))][j-1];
			if(depth[a]<depth[b])
				st[i][j]=a;
			else	st[i][j]=b;
		}
	}
}
int main(){
	n=read(),m=read(),s=read();
	lg[0]=-1;
	for(int i=1;i<maxn*2;++i)	lg[i]=lg[i>>1]+1;
	int x,y;
	for(int i=1;i<n;++i){
		x=read(),y=read();
		G[x].push_back(y);
		G[y].push_back(x);
	}
	dfs(s,0);
	STinit();
	for(int i=1;i<=m;++i){
		x=read(),y=read();
		x=first_place[x];
		y=first_place[y];
		if(x>y)	swap(x,y);
		int k=lg[y-x];
		int a=st[x][k],b=st[y-(1<<k)+1][k];
		if(depth[a]<depth[b])
			printf("%d\n",order[a]);
		else	printf("%d\n",order[b]);
		
	}
	return 0;
}