hdu 5514 Frogs（容斥）

原创于 2018-10-15 16:20:33 发布 · 217 阅读

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本文介绍了一种利用容斥原理解决特定数学问题的方法，即求解给定m和n个数的情况下，这些数作为m的因子，求它们的倍数且为m的因子的数的和。通过分解m的因子，标记与n个数相关的因子，并使用容斥原理进行计算，最终得出了解决方案。

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题目链接：

题目链接：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5514
感觉学姐好厉害啊~每次的容斥题都做出来了T_T

题意：浓缩之后就是，给一个m，然后给n个数，给的这n个数必须是m的因子（因为根据题意是求的gcd），然后问给的这n个数每个数不互质的数的和？

如果n比较小的话很容易想到容斥，但是n这么大，哇怎么容斥嘛T_T

根据学姐的步骤：
①：先把m分解，找出他的所有的因子
②：把这n个数的及其倍数并且是m的因子的数标记Mp[x]=1
③：关键的一步：Mp[ki]-=Mp[i]，就是说轮到计算ki的时候，他对应的Mp要减去他的约数，因为在之前已经计算过了，感觉就是这里是最难理解的地方

好来详细看哈第③步：

在这里插入图片描述

看，这个Mp很牛皮，比如说看12这个数，就是Mp[2]+Mp[3]+Mp[4]+Mp[12]，总共加起来等于1，说明就只加过一次12

可是我还是不知道学姐他是怎么想到的，她说她是随便试了几次试出来的。。。先试了试取反，然后又试了试每次减1什么的，然后就试出来了T_T

/*求m以内n个数每个数的倍数的和，但是要求这n个数都是m的因子*/
#include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=1e5+5;
const int MOD=1e9+7;
vector<LL>factor;
int main()
{
	int T;
	cin>>T;
	for(int Case=1; Case<=T; Case++)
	{
		map<LL,LL>Mp;
		factor.clear();
		LL N,M;
		cin>>N>>M;
		for(LL i=1; i*i<=M; i++)
		{
			if(M%i)continue;
			factor.push_back(i);
			if(i==M/i)continue;
			factor.push_back(M/i);
		}
		sort(factor.begin(),factor.end());//因子要从小到大排序 
		int flag=0;
		int len=factor.size();
		for(int i=1; i<=N; i++)
		{
			LL t;
			cin>>t;
			t=__gcd(t,M);
			if(t==1)flag=1;//要是gcd=1的话，就全都有 
			for(int j=1; j<len-1; j++)if(factor[j]%t==0)Mp[factor[j]]=1;
		}
		if(flag)
		{
			cout<<"Case #"<<Case<<": "<<M*(M-1)/2<<endl;
			continue;
		}
		LL sum=0;
		for(int i=1; i<len-1; i++)
		{
			LL cnt=(M-1)/factor[i];
			sum+=(factor[i]+cnt*factor[i])*cnt/2*Mp[factor[i]];//Mp就是用来容斥看是加多少还是减多少的 
			for(int j=i+1; j<len-1; j++)if(factor[j]%factor[i]==0)Mp[factor[j]]-=Mp[factor[i]];//这句话是关键~ 
		}
		cout<<"Case #"<<Case<<": "<<sum<<endl;
	}
}