2020张宇1000题【好题收集】【第八章:常微分方程】

本文详细解析了常微分方程中的经典问题,包括一阶常微分方程通解、伯努利方程和欧拉方程的解法。通过具体例题,讲解了如何处理绝对值、积分和特殊解的情况,强调了解题过程中的关键点和陷阱,适合学习常微分方程的读者参考。

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基本知识

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一阶常微分方程通解

y ′ + p ( x ) y = q ( x ) y'+p(x)y=q(x) y+p(x)y=q(x)
A ( x ) = e ∫ p ( x ) d x A(x)=e^{\int p(x)dx} A(x)=ep(x)dx
y = 1 A ( x ) ( ∫ A ( x ) q ( x ) d x + C ) y=\frac{1}{A(x)}(\int A(x)q(x)dx+C) y=A(x)1(A(x)q(x)dx+C)

伯努利方程

y ′ + p y = q y n y'+py=qy^n y+py=qyn
解法:
同时除以 y n , 然 后 把 y − n 拿 到 微 分 里 面 去 变 成 d ( y ( 1 − n ) ) d x + p y ( 1 − n ) = q y^n,然后把y^{-n}拿到微分里面去变成\frac{d(y^{(1-n)})}{dx}+py^{(1-n)}=q yn,yndxd(y(1n))+py(1n)=q

欧拉方程

x n y ( n ) + p 1 x n − 1 y ( n − 1 ) + . . . + p n y = q x^ny^{(n)}+p_1x^{n-1}y^{(n-1)}+...+p_ny=q xny(n)+p1xn1y(n1)+...+pny=q
解法:
x = e t x=e^t x=et
然后令 D n = d n y d x n D^n=\frac{d^ny}{dx^n} Dn=dxndny
x n y ( n ) = D ( D − 1 ) ( D − 2 ) . . . 1 ⋅ y x^ny^{(n)}=D(D-1)(D-2)...1\cdot y xny(n)=D(D1)(D2)...1y

8.4【处理绝对值】

求 d y d x = ( 1 − y 2 ) t a n x 的 通 解 及 特 解 , y ( 0 ) = 2 求\frac{dy}{dx}=(1-y^2)tanx的通解及特解,y(0)=2 dxdy=(1y2)tanx,y(0)=2
很明显这个是可分离变量的,把 ( 1 − y 2 ) (1-y^2) (1y2)除过去

但是坑的地方是:要考虑 1 − y 2 = 0 1-y^2=0 1y2=0的时候
所以 y = 1 和 y = − 1 y=1和y=-1 y=1y=1也是方程的解

因为会出现对数,所以要加绝对值,然后就是处理绝对值的问题了
∣ 1 + y 1 − y ∣ = e 2 C 1 c o s 2 x 把 正 负 号 拿 到 上 面 常 数 上 ⇒ 1 + y 1 − y = ± e 2 C 1 c o s 2 x , 然 后 再 把 ± e 2 C 1 当 作 新 的 常 数 C ⇒ 1 + y 1 − y = C c o s 2 x \begin{vmatrix}\frac{1+y}{1-y} \end{vmatrix}=\frac{e^{2C_1}}{cos^2x}把正负号拿到上面常数上\Rightarrow \frac{1+y}{1-y}=\frac{\pm e^{2C_1}}{cos^2x},然后再把\pm e^{2C_1}当作新的常数C\Rightarrow \frac{1+y}{1-y}=\frac{C}{cos^2x} 1y1+y=cos2xe2C11y1+y=cos2x±e2C1,±e2C1C1y1+y=cos2xC
如果在代绝对值的时候就来确定常数的话,就有阔能出现双值 y y y,这样就错了

8.5

x d y = ( y − x 2 + y 2 ) d x 且 y ( 1 ) = 0 , ( x > 0 ) xdy=(y-\sqrt{x^2+y^2})dx且y(1)=0,(x>0) xdy=(yx2+y2 )dxy(1)=0,(x>0)
我一看,哎呀,形式好复杂啊,怎么搞?
观察一哈,虽然有平方,但是有根号呀,所以他们的次数都是1次的

变个形:
d y d x = y x − 1 + ( y x ) 2 \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}-\sqrt{1+(\frac{y}{x})^2} dxdy=xy1+(xy)2

令 u = y x , y = u x 令u=\frac{y}{x},y=ux u=xy,y=ux

∴ d y = x d u + u d x ⇒ d y d x = x d u d x + u \therefore dy=xdu+udx\Rightarrow \frac{dy}{dx}=x\frac{du}{dx}+u dy=xdu+udxdxdy=xdxdu+u

1 1 + u 2 d u = − 1 x d x \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}du=-\frac{1}{x}dx 1+u2 1du=x1dx

左边是要记到的常用积分
l n ∣ u + 1 + u 2 ∣ = − l n ∣ x ∣ + C ln|u+\sqrt{1+u^2}|=-ln|x|+C lnu+1+u2 =lnx+C

8.8

( 4 − x + y ) d x − ( 2 − x − y ) d y = 0 (4-x+y)dx-(2-x-y)dy=0 (4x+y)dx(2xy)dy=0
这个是以前学的时候没怎么遇到的套路
d y d x = x − y − 4 x + y − 2 \frac{dy}{dx}=\frac{x-y-4}{x+y-2} dxdy=x+y2xy4
令 { x = X + k y = Y + h 令\left\{\begin{matrix} x=X+k\\ \\ y=Y+h \end{matrix}\right. x=X+ky=Y+h

带入方程变成:
d y d x = X − Y + k − h − 4 X + Y + k + h − 2 \frac{dy}{dx}=\frac{X-Y+k-h-4}{X+Y+k+h-2} dxdy=X+Y+k+h2XY+kh4
如果方程能变成 d y d x = X − Y X + Y \frac{dy}{dx}=\frac{X-Y}{X+Y} dxdy=X+YXY这样是不是就好解多了喃
其实就是当 { k − h − 4 = 0 k + h − 2 = 0 \left\{\begin{matrix} k-h-4=0\\ \\ k+h-2=0 \end{matrix}\right. kh4=0k+h2=0的时候,方程就变成上面那样了
上面那个就变成 d Y d X = 1 − Y X 1 + Y X , 然 后 令 u = Y X 就 好 做 了 \frac{dY}{dX}=\frac{1-\frac{Y}{X}}{1+\frac{Y}{X}},然后令u=\frac{Y}{X}就好做了 dXdY=1+XY1

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