乘积最大

http://www.rqnoj.cn/Problem_311.html

区间dp问题。问题的一般形式为对于长度为j的字串插入i个*号,使得对应的结果最大,设用dp[i][j]来保存结果,插入i个*号后,字串被分为j段,问题的解即变为对于前j-k 个字串插入i-1个*对应的结果然后乘以区间(j-k+1 , j)的最大值。动规方程dp[i][j] =max{ dp[i-1][k] * result(k+1 , j)}  其中result是求解区间的值。代码如下:


/*
ID: csuchenan
PROG: 乘积最大
LANG: C++ 
*/
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std ;

const int maxn = 60 ;

int n ;
int m ;

char str[maxn] ;

long long dp[maxn][maxn] ;

long long result(int x , int y)
{
	long long sum ;
	sum = 0 ;
	
	while(x <= y)
	{
		sum = sum * 10 + str[x] - '0' ;
		x ++ ;
	}
	
	return sum ;
}

int main()
{
	scanf("%d %d" , &n , &m) ;
	scanf("%s" , str + 1) ;

	memset(dp , 0 , sizeof(dp)) ;
	
	int i ;
	int j ;
	int k ;
	long long temp ;
	
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++)
	{
		dp[0][i] = result(1 , i) ;
	}
	
	for(i = 1 ; i <= m ; i ++)
	{
		for(j = 1 ; j <= n ; j ++)
		{
			temp = 0 ;
			for(k = i ; k <= n ; k ++)
			{
				if(temp < dp[i-1][k] * result(k + 1 , j) )
				{
					temp = dp[i-1][k] * result(k + 1 , j) ;
				}
				
			}
			
			dp[i][j] = temp ;
		}
	}
	
//	for(i = 0 ; i <= m ; i ++)
//	{
///		for(j = 0 ; j <= n ; j ++)
//	/	{
//			printf("%d\t" , dp[i][j]) ;
//		}
//		printf("\n") ;
//	}
	
	printf("%I64d\n" , dp[m][n]) ;
//	system("pause") ;
	return 0 ;
}


### 蓝桥杯竞赛中的乘积最大问题 对于蓝桥杯竞赛中涉及的乘积最大问题,在处理此类题目时,通常需要考虑正负数的影响以及如何选取能够得到最大乘积的子序列。针对给定的一系列整数,目标是从这些数字中挑选出特定数量的元素使其乘积最大化。 考虑到可能存在负数的情况,解决方案不仅限于简单地选择绝对值最大的几个数值。当所选元素的数量`K`为奇数时,如果数组中有足够的负数,则可能通过组合最小的两个负数来获得较大的正值贡献[^3]。具体来说: - 需要先对整个列表按照绝对值大小降序排列; - 如果`K`是偶数,那么直接取前`K`个数相乘即可; - 若`K`为奇数且存在至少一对负数,则比较最末尾的一个大正数与开头两小负数之积哪个更大,以此决定最终的选择方案[^4]。 下面给出一段基于上述逻辑编写的C++代码片段用于解决此类型的问题: ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; bool cmp(int a, int b){ return abs(a)>abs(b); } int main(){ int n,k; cin>>n>>k; vector<int> nums(n); for(auto& num : nums) cin >> num; sort(nums.begin(),nums.end(),cmp); long long res = 1LL; if(k%2==0 || nums[k-1]>=0){ // k is even or all selected are non-negative for(int i=0;i<k;++i) res=(res*nums[i])%(1000000009); } else{ // k is odd and there's at least one negative number among the first K elements bool flag=false; for(int i=k-1,j=n-1;i>=0&&j>i;--i,--j){ if(abs(1LL*nums[j]*nums[j-1])>abs(1LL*nums[i])){ res=res*(long long)(nums[j]*(long long)nums[j-1]); j-=2; flag=true; break; } } if(!flag)//if no swap happened then just multiply as usual. for(int i=0;i<k;++i) res=(res*nums[i])%(1000000009); else//otherwise adjust remaining multiplications after swapping two smallest negatives with largest positives available outside top-K range. for(int i=j+k-(j-k+1)<k?j+k-(j-k+1):k;i<k;++i) res=(res*nums[i])%(1000000009); } cout<<((res<0)?(-res):(res))%1000000009<<"\n"; } ``` 该程序首先读入待处理的数据长度`n`和所需选出的最大乘积项数目`k`,接着接收一系列整数作为候选集。之后利用自定义比较函数`cmp()`完成按绝对值排序操作,并依据之前提到的原则计算结果并输出。
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