《微积分：一元函数微分学》——费马定理

最新推荐文章于 2025-01-08 23:03:11 发布

SongBai1997

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本文阐述了函数在某一点取得极值时，该点导数值为零的定理及其证明过程。通过理解这一原理，可以更好地掌握函数极值的判断方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

定理

设 f(x) 在 x0 点处满足：1、可导 2、取得极值，则有 f ' (x0)=0

证明

不妨假设 f(x) 在点 x0 处取得极大值，则存在 x0 的邻域 U( x0 )，对任意的 x属于U( x0 )，都有

$\Delta f=f(x)-f(x_{0})\leq 0$

根据导数定义与极限的保号性有

$\\\\\\ f'_{-}(x_{0})=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\geq 0 \\\\\\ f'_{+}(x_{0})=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\leq 0$

又 f(x) 在点 x0 处可导，所以

$f'_{-}(x_{0})=f'_{+}(x_{0})\Rightarrow f'(x_{0})=0$

证毕

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