BZOJ4503 两个串

最新推荐文章于 2020-12-22 16:58:51 发布

ShadyPi

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分类专栏：字符串数论&数学 # FFT

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本文深入探讨了一种利用FFT快速傅里叶变换进行字符串匹配的方法，通过将字符串转换为复数序列，采用FFT进行卷积计算，实现了高效地查找模式串在主串中的所有出现位置。文章详细介绍了算法原理，包括如何计算匹配函数f(x)，并通过实例演示了如何使用FFT加速计算过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

原题链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4503

两个串

Description

兔子们在玩两个串的游戏。给定两个字符串S和T，兔子们想知道T在S中出现了几次，分别在哪些位置出现。注意T中可能有“?”字符，这个字符可以匹配任何字符。

Input

两行两个字符串，分别代表S和T

Output

第一行一个正整数k，表示T在S中出现了几次。

接下来k行正整数，分别代表T每次在S中出现的开始位置。按照从小到大的顺序输出，S下标从0开始。

Sample Input

bbabaababaaaaabaaaaaaaabaaabbbabaaabbabaabbbbabbbbbbabbaabbbababababbbbbbaaabaaabbbbbaabbbaabbbbabab

a?aba?abba

Sample Output

HINT

S 长度不超过 10^5， T 长度不会超过 S。 S 中只包含小写字母， T中只包含小写字母和“?”

题解

设 $n = ∣ S ∣, m = ∣ T ∣$ ，定义函数 $f(x)=\sum_{i=0}^{m-1}(S_{x+i}-T_i)^2\times T_i$ ，其中小写字母的值直接用 $A C S I I$ 码，’ $?$ ’ 的值为 $0$ ，这样如果 $f (x) = 0$ ，那么说明可以从 $x$ 开始匹配。

考虑如何计算 $f (x)$ ，将 $(S_{x+i}-T_i)^2\times T_i$ 展开，得到 $S^2_{x+i}T_i-2S_{x+i}T^2_i+T_i^3$ ，前两个为乘积形式， $\sum$ 起来是平行的：

这样我们没法快速计算，所以我们把 $T$ 翻转过来：

运算变成了卷积形式，我们就可以用 $\mathcal{FFT}$ 快速计算了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define db double
using namespace std;
const int M=(1<<18)+5;
const db pi=acos(-1.0);
struct cpx{db x,y;}s[M],t[M],s2[M],t2[M];
cpx operator +(cpx a,cpx b){return (cpx){a.x+b.x,a.y+b.y};}
cpx operator -(cpx a,cpx b){return (cpx){a.x-b.x,a.y-b.y};}
cpx operator *(cpx a,cpx b){return (cpx){a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x};}
int n,m,len,mx,rev[M],ans[M],tot,t3;
char ch[M];
void fft(cpx *f,int typ)
{
	cpx wn,w,x,y;int i,j,k,mid;
	for(i=0;i<mx;++i)if(i<rev[i])swap(f[i],f[rev[i]]);
	for(mid=1;mid<mx;mid<<=1)for(j=0,wn=(cpx){cos(pi/mid),typ*sin(pi/mid)};j<mx;j+=mid<<1)
	for(k=0,w=(cpx){1,0};k<mid;++k,w=w*wn)x=f[j+k],y=w*f[j+mid+k],f[j+k]=x+y,f[j+mid+k]=x-y;
}
void in()
{
	scanf("%s",ch);for(int i=n=strlen(ch)-1;i>=0;--i)s[i].x=ch[i]-'a'+1;
	scanf("%s",ch);for(int i=m=strlen(ch)-1;i>=0;--i)t[i].x=ch[i]=='?'?0:ch[i]-'a'+1;
}
void ac()
{
	for(mx=1;mx<=n+m;mx<<=1,++len);for(int i=0;i<mx;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(len-1));
	reverse(t,t+m+1);
	for(int i=0;i<mx;++i)s2[i]=s[i]*s[i],t2[i]=(cpx){2,0}*t[i]*t[i],t3+=(t[i]*t[i]*t[i]).x;
	fft(s2,1),fft(t2,1),fft(s,1),fft(t,1);
	for(int i=0;i<mx;++i)s2[i]=s2[i]*t[i]-s[i]*t2[i];
	fft(s2,-1);
	for(int i=0;i<=n-m;++i)if(int(s2[m+i].x/mx+t3+0.5)==0)ans[++tot]=i;
	printf("%d\n",tot);for(int i=1;i<=tot;++i)printf("%d\n",ans[i]);
}
int main(){in();ac();}