Luogu4587[FJOI2016] 神秘数

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主席树

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本文介绍了一种解决神秘数查询问题的高效算法。该算法利用主席树进行区间值域求和，通过倍增的方式提高查询效率，实现O(nlog²n)的时间复杂度。

原题链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4587

神秘数

题目描述

一个可重复数字集合S的神秘数定义为最小的不能被S的子集的和表示的正整数。例如S={1,1,1,4,13}，

1 = 1

2 = 1+1

3 = 1+1+1

4 = 4

5 = 4+1

6 = 4+1+1

7 = 4+1+1+1

8无法表示为集合S的子集的和，故集合S的神秘数为8。

现给定n个正整数a[1]..a[n]，m个询问，每次询问给定一个区间l,r，求由a[l],a[l+1],…,a[r]所构成的可重复数字集合的神秘数。

输入输出格式

输入格式：

第一行一个整数n，表示数字个数。

第二行n个整数，从1编号。

第三行一个整数m，表示询问个数。

以下m行，每行一对整数l,r，表示一个询问。

输出格式：

对于每个询问，输出一行对应的答案。

输入输出样例

输入样例#1：

5
1 2 4 9 10
5
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5

输出样例#1：

2
4
8
8
8

说明

对于100%的数据点， $n,m <= 100000,\sum a[i]\le 10^9$ 。

题解

显然，如果我们已经凑出了 $[1,k]$ 的所有数字，只要再加一个小于等于 $k+1$ 的数 $x$ ，能凑出的数字范围就会变成 $[1,k+x]$ ；如果是一个大于 $k+1$ 的数字，值域就会变为 $[1,k]\cup[x,k+x]$ ，答案就是 $k+1$ 了。

那么我们只需要每次查询值在 $[1,k]$ 内的所有数的和 $sum$ ，当 $sum>k$ 时答案就可以更新为 $[1,sum]$ ，否则返回 $k+1$ 。

区间值域求和需要主席树，单词操作 $O(log_2n)$ ，每次增长类似于倍增，所以总复杂度为 $O(nlog_2^2n)$ 。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=1e5+5;
int que[M],rt[M],sum[M<<7],ls[M<<7],rs[M<<7],n,m,q,tot;
int ask(int u,int v,int le,int ri,int val)
{
    if(ri<=val)return sum[v]-sum[u];
    int mid=le+ri>>1,ans=ask(ls[u],ls[v],le,mid,val);
    if(mid<val)ans+=ask(rs[u],rs[v],mid+1,ri,val);
    return ans;
}
int query(int le,int ri){int ans=0,tmp;for(;(tmp=ask(rt[le-1],rt[ri],1,q,ans+1))>ans;ans=tmp);return ans+1;}
int modify(int v,int le,int ri,int pos)
{
    int now=++tot,mid=le+ri>>1;
    ls[now]=ls[v],rs[now]=rs[v],sum[now]=sum[v]+pos;
    if(le==ri)return now;
    if(pos<=mid)ls[now]=modify(ls[now],le,mid,pos);
    else rs[now]=modify(rs[now],mid+1,ri,pos);
    return now;
}
void in(){scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&que[i]),q=max(q,que[i]);}
void ac()
{
    int l,r;
    for(int i=1;i<=n;++i)rt[i]=modify(rt[i-1],1,q,que[i]);
    scanf("%d",&m);
    while(m--)scanf("%d%d",&l,&r),printf("%d\n",query(l,r));
}
int main(){in();ac();}