[2018.03.29 T1] 异或

最新推荐文章于 2024-03-06 10:57:04 发布

ShadyPi

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分类专栏： # 线性基

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本文介绍了一种解决异或最大值问题的有效算法，通过维护线性基的方式，在O((n+q)log2a)的时间复杂度内解决了给定序列上的多次区间查询问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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异或

【题目描述】

蒜头是一位优秀的 OI 选手。

自古以来，迷人的星空总是吸引着许多天文学的爱好者。顺着星星的指引，明天的蒜头将会遇到一道有趣的题，和蒜头曾经出过的一道题一样有趣。

给一个长度为 $n$ 的序列 $a$ ， $q$ 次询问在 $a[l...r]$ 中选择若干个数(可以不选)和 $d$ 异或所能得到的最大值。

【输入】

输入的第一行是一个数 $n$ ，表示序列的长度。

接下来一行 $n$ 个数，第 $i$ 个数表示序列的第 $i$ 个元素。

接下来一行是一个数 $q$ ，表示询问数。

接下来 $q$ 行，每行三个数 $l,r,d$ 表示一组询问。

【输出】

共输出 $q$ 行，第 $i$ 行表示第 $i$ 个询问的答案。

【输入样例】

17
564336209 776981317 868432406 79690390 105769824 521627888 858214260 66699280 76283981 338813935 566669033 929900644 508668884 239924833 9927169 356446378 777851615
20
8 8 326049892
1 8 950790720
10 12 76241722
7 7 324181335
5 9 89862960
3 6 313463619
4 9 897057197
1 6 840260745
1 3 1068836159
3 7 33253290
4 6 628314026
7 12 1010898432
4 9 49135963
10 17 359110673
4 9 403969940
2 9 369688276
3 7 709921095
2 6 618680372
5 7 238186905
10 10 886901243

【输出样例】

326049892
1072550086
870740830
544592419
927225721
1048265125
934931072
1063393342
1068836159
914859818
1054596556
1069078032
934584212
1070493062
938347227
1072003701
934670401
1061732946
1024802541
886901243

【提示】

$\begin{matrix}子任务编号&子任务分值&n=&q=&a_i<\newline 1&7&17&20&2^{30}\newline 2&11&200&200&2^{16}\newline 3&8&3×10^4&3×10^4&2^{30}\newline 4&10&3×10^4&3×10^5&2^{30}\newline 5&17&3×10^5&3×10^5&2^{30}\newline 6&17&3×10^4&10^6&2^{30}\newline 7&8&2×10^5&10^6&2^{30}\newline 8&5&10^6&10^6&2^4\newline 9&17&10^6&10^6&2^{30}\newline \end{matrix}$
每个子任务七个测试点，依次分布。

题解

出题人题解：
时间复杂度瓶颈在于我们要表示出 $O(log a)$ 个线性基。
考虑我们之前维护端点的过程，那么后 $i$ 个端点实际上就是一个
大小为 $i$ 的线性无关组。
容易发现，我们将位置在前面的数异或位置在后面的数，并不会
对我们的答案产生影响。所以实际上我们仍然可以维护线性基，
并且只需维护 $1$ 个。
实现上来说，只要同时存在两个最高位相同的数时，用前面的异
或后面的即可。
时间复杂度 $O((n + q)log_2a)$ 。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1e6+5;
struct sd{int ri,d,id;};
vector<sd>que[M];
int ans[M],a[M],n,q,pos[40],base[40];
void in()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    scanf("%d",&a[i]);
    scanf("%d",&q);
}
void ac()
{
    int le,ri,d;
    for(int i=1;i<=q;++i)
    {
        scanf("%d%d%d",&le,&ri,&d);
        que[le].push_back((sd){ri,d,i});
    }
    memset(pos,63,sizeof(pos));
    int v,p,re;
    for(int i=n;i>=1;--i)
    {
        v=a[i],p=i;
        for(int j=30;j>=0;--j)
        {
            if(v>>j&1)
            {
                v^=base[j];
                if(pos[j]>p)
                base[j]^=v,swap(pos[j],p);
            }
            if(!v)break;
        }
        for(int j=que[i].size()-1;j>=0;--j)
        {
            d=que[i][j].d;ri=que[i][j].ri;
            for(int k=30;k>=0;--k)if(pos[k]<=ri&&~d>>k&1)d^=base[k];
            ans[que[i][j].id]=d;
        }
    }
    for(int i=1;i<=q;++i)
    printf("%d\n",ans[i]);
}
int main()
{
    in();ac();
    return 0;
}