Luogu5629 【AFOI-19】区间与除法

最新推荐文章于 2024-03-04 20:47:13 发布

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ST表

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这篇博客讨论了一道编程竞赛题目，涉及到区间和数的除法操作。题目要求确定最少需要多少个特定的“原数”来消灭一个数列中的数，通过预处理和状态压缩，结合ST表解决区间查询问题。代码实现中出现了long long类型导致的溢出问题。

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P5629

区间与除法

题目背景

SY 好不容易才解出QM给她的数学题，在恰午饭的时候，QM 向她的脑洞里塞了个幻想的泡泡……SY 戳开一看，又是长长的一串数字!

SY 实在是不想思考了，她决定用小学的除法消灭她脑洞里的数字.

题目描述

定义 $o p$ 操作意义为将当前数除以 $d$ 并向下取整.

SY 现在有 $m$ 个“原数”，若一个数经过若干次 $o p$ 操作(包括 $0$ 次)后能变为这个“原数”，那么这个数是可以被这个“原数”所消灭的。注意，“原数”是不会被消耗的.

现在 SY 想问你,对于一个区间 $[l, r]$ ，在消灭最多个数的前提下最少需要多少个“原数”？

输入格式

第一行 $4$ 个数,分别是 $n, m, d, q$ ,分别表示数列 ${a\}$ 元素个数，SY 拥有的 “原数” 个数， $o p$ 操作参数，询问个数。

第二行为 ${a\}$ 数列，即需要被消灭的数列。

第三行为 $m$ 个“原数”。

接下来 $q$ 行，每行两个数 $l$ 和 $r$ ，表示询问区间为 $[l, r]$ 。

输出格式

按照询问顺序，每一行输出一个整数表示答案.

输入输出样例

输入 #1
2 3 3 3
0 20
6 6 6
1 1
2 2
1 2
输出 #1
0
1
1
输入 #2
6 3 3 3
6 5 10 15 19 7
2 5 10
1 6
1 4
4 6
输出 #2
3
3
2

说明/提示

样例解释：

#样例1 ： $20$ 经过一次 $o p$ 操作（除以 $3$ 向下取整）可以变成 $6$ ，而 $0$ 不能经过若干次 $o p$ 操作变成 $6$ 。

所以区间 $[1, 1]$ 最多消灭 $0$ 个数，消灭最多数前提下最少需要 $0$ 个 “原数”，区间 $[1, 2], [2, 2]$ 最多消灭 $1$ 个数，消灭最多数前提下最少需要 $1$ 个 “原数” 。

#样例2 ： $2$ 能消灭 ${6,19,7\}$ ， $5$ 能消灭 ${5,15\}$ ， $10$ 能消灭 ${10\}$ ，所以区间 $[1, 6], [1, 4]$ 最少能用所有 “原数” 全部消灭，区间 $[4, 6]$ 能用 $2, 5$ 全部消灭。

数据范围：

对于 $30\%$ 的数据： $n\le100,m\leq10, d=2, q\le 10$

对于 $100\%$ 的数据： $n\le5\times 10^{5},m\leq60,2\leq d\leq10,q\le10^{6},0\le a_i,b_i\le 2^{63}$

在这里插入图片描述
特殊性质：数据经过构造。

题解

比较好想，因为 $d$ 是固定的，所以一个数能不能被原数消灭是可以预处理出来的。同时原数也有可能被另一个原数消灭，所以我们需要先“化简”一下原数集合，把能被其他原数消灭的原数删去，再将原数排好序，方便后续的查找。

因为一个原数可以消灭多个数，需要合并区间的信息，看到 $m\le 60$ ，直接明示状态压缩，用一个long long的 $63$ 个二进制位就可以完美表示出整个区间需要的原数状态，并且能做到 $O (1)$ 合并。再看到询问 $10^6$ ，明示卡 $O(log_2n)$ 算法，就自然想到 $\mathcal{ST}$ 表，于是这题就做完了。

代码

思路简单，但是为什么没有一次过呢，又双叒叕是因为™的long long，👴吐了。

#include<bits/stdc++.h>
#define MAX LONG_LONG_MAX
using namespace std;
const int M=5e5+5;
int n,m,d,q,lg2[M];
long long st[M][20],que[M],ori[65],pow2[65];
void deal(int v)
{
    long long x=que[v];
    for(int p;x;x/=d)
    {
        p=lower_bound(ori+1,ori+1+m,x)-ori;
        if(ori[p]==x){st[v][0]=pow2[p-1];break;}
    }
}
int div(long long x){int r=0;for(;x;x>>=1)if(x&1)++r;return r;}
int ask(int le,int ri)
{
    int lg=lg2[ri-le+1];
    return div(st[le][lg]|st[ri-pow2[lg]+1][lg]);
}
void in()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&d,&q);
    for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%lld",&que[i]);
    for(int i=1;i<=m;++i)scanf("%lld",&ori[i]);
}
void ac()
{
    sort(ori+1,ori+1+m);
    m=unique(ori+1,ori+1+m)-1-ori;
    int tmp=0;
    for(int i=m;i>1;--i)
    for(long long j=ori[i];j;j/=d)if(binary_search(ori+1,ori+i,j)){ori[i]=MAX;++tmp;break;}
    sort(ori+1,ori+1+m);
    m-=tmp;
    lg2[1]=0;for(int i=2;i<=n;++i)lg2[i]=lg2[i>>1]+1;
    pow2[0]=1;for(int i=1;i<=63;++i)pow2[i]=pow2[i-1]<<1;
    for(int i=1;i<=n;++i)deal(i);
    for(int i=1;i<=lg2[n];++i)for(int j=n-pow2[i]+1;j;--j)st[j][i]=st[j][i-1]|st[j+pow2[i-1]][i-1];
    for(int i=1,a,b;i<=q;++i)scanf("%d%d",&a,&b),printf("%d\n",ask(a,b));
}
int main()
{
    in(),ac();
    //system("pause");
}