HDU1215——数论解法

博客探讨了如何使用算术基本定理来分解正整数n,并通过整数约数和公式求得不包含n本身的因子之和。通过对n进行因数分解,然后应用公式(1+p1+p1^2+...+p1^a1)(1+p2+p2^2+...p2^a2)...(1+pk+pk^2+...pk^ak)计算得出结果。

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题意:

给出一个正整数n,求出不包含它本身的所有因子的和

思路:

运用算术基本定理对这个这个整数进行拆分


整数约数和公式即,sum = (1+p1+p1^2+...+p1^a1)(1+p2+p2^2+...p2^a2)...(1+pk+pk^2+...pk^ak)

(注:该公式计算结果包含整数本身)

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std ;
#define MAX 10000100
bool visit[MAX] ;
long long prime[MAX / 10] ;
int tot = 0 ;

void doprime()//素数筛
{
    for(long long i = 2 ; i < MAX ; i ++)
    {
        if(! visit[i])
        {
            prime[tot ++] = i ;
            for(long long j = i * i ; j < MAX ; j += i) visit[j] = true ;
        }
    }
}
int p[1000] ;//素因子
int a[1000] ;//素因子个数
int cnt ;
void sbreak(long long n)//素因子分解
{
    memset(p , 0 , sizeof(p)) ;
    memset(a , 0 , sizeof(a)) ;
    cnt = 0 ;
    for(int i = 0 ;prime[i] * prime[i] <= n ; i ++)
    {
        if(n % prime[i] == 0)
        {
            p[cnt] = prime[i] ;
            while(n % prime[i] == 0)
            {
                a[cnt] ++ ;
                n /= prime[i] ;
            }
            cnt ++ ;
        }
    }
    if(n != 1)
    {
        p[cnt] = n ;
        a[cnt ++ ] = 1 ;
    }
}
int main()
{
    int T ;
    int num ;
    doprime() ;
    cin >> T ;
    while(T --)
    {
        cin >> num ;
        sbreak(num) ;
        int ans = 1 ;
        int temp , each ;
        //求约数和
        for(int i = 0 ; i < cnt ; i ++)
        {
            temp = 1 ;
            each = 1 ;
            for(int j = 1 ; j <= a[i] ; j ++)
            {
                each *= p[i] ;
                temp += each ;
            }
            ans *= temp ;
        }
        cout << ans-num << endl ;
    }
    return 0 ;
}


对于HDU4546问题,还可以使用优先队列(Priority Queue)来解决。以下是使用优先队列的解法思路: 1. 首先,将数组a进行排序,以便后续处理。 2. 创建一个优先队列(最小堆),用于存储组合之和的候选值。 3. 初始化优先队列,将初始情况(即前0个数的组合之和)加入队列。 4. 开始从1到n遍历数组a的元素,对于每个元素a[i],将当前队列中的所有候选值取出,分别加上a[i],然后再将加和的结果作为新的候选值加入队列。 5. 重复步骤4直到遍历完所有元素。 6. 当队列的大小超过k时,将队列中的最小值弹出。 7. 最后,队列中的所有候选值之和即为前k小的组合之和。 以下是使用优先队列解决HDU4546问题的代码示例: ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <queue> #include <functional> using namespace std; int main() { int n, k; cin >> n >> k; vector<int> a(n); for (int i = 0; i < n; i++) { cin >> a[i]; } sort(a.begin(), a.end()); // 对数组a进行排序 priority_queue<long long, vector<long long>, greater<long long>> pq; // 最小堆 pq.push(0); // 初始情况,前0个数的组合之和为0 for (int i = 0; i < n; i++) { long long num = pq.top(); // 取出当前队列中的最小值 pq.pop(); for (int j = i + 1; j <= n; j++) { pq.push(num + a[i]); // 将所有加和结果作为新的候选值加入队列 num += a[i]; } if (pq.size() > k) { pq.pop(); // 当队列大小超过k时,弹出最小值 } } long long sum = 0; while (!pq.empty()) { sum += pq.top(); // 求队列中所有候选值之和 pq.pop(); } cout << sum << endl; return 0; } ``` 使用优先队列的方法可以有效地找到前k小的组合之和,时间复杂度为O(nklog(k))。希望这个解法对你有所帮助!
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