【HDU】5492 Find a path（2015 ACM/ICPC Asia Regional Hefei Online）

最新推荐文章于 2019-04-07 16:38:20 发布

S_Black

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分类专栏： HDU 网络赛动态规划

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本文介绍了一种算法，用于在一个给定的n*m矩阵中找到从左上角到右下角的一条路径，使得该路径上的数值方差最大化。通过动态规划的方法，文章详细解释了如何维护路径上的平方和与总和，最终求得最大的方差。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Find a path

题目链接

Find a path

题目大意

给你一个n*m的矩阵，让你找一条路径从左上角到达右下角，要求方差最大

(N + M - 1) \sum i = 1 N + M - 1 (A i - A a v g) 2

$(N+M-1)\sum_{i=1}^{N+M-1}(A_{i}-A_{avg})^{2}$

题解

经过变换，我们可以把题目中所给的式子变成这样：

(N + M - 1) \sum i = 1 N + M - 1 A 2 i - S U M 2

$(N+M-1)\sum_{i=1}^{N+M-1}A_i^2-SUM^2$
其中SUM是路径上所有Ai的和。
通过这个式子我们可以看到我们需要维护

A2i $A_i^2$ 和SUM的值：

我 们 用 D i, j, k 表 示 到 (i, j) 时 和 为 k 的 最 大 平 方 和 ， 换 句 话 说 : D i, j, k = \sum i = 1 i + j - 1 A 2 i (\sum i = 1 i + j - 1 A i = k)

$我们用D_{i,j,k}表示到(i,j)时和为k的最大平方和，换句话说: \\ D_{i,j,k}=\sum_{i=1}^{i+j-1}A_i^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\sum_{i=1}^{i+j-1}A_i=k)$
最后取最大，算出结果就行了。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define LL long long

using namespace std;

int T,n,m;
LL a[35][35],d[35][35][2005];

int main()
{
    int Case=1;
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(d,-1,sizeof(d));
        scanf("%d%d",&n,&m);
        LL t=n+m-1;
        for (int i=1;i<=n;i++)
            for (int j=1;j<=m;j++) scanf("%I64d",&a[i][j]);
        //DP
        d[1][1][a[1][1]]=a[1][1]*a[1][1];
        for (int i=1;i<=n;i++)
            for (int j=1;j<=m;j++)
                for (int k=a[i][j];k<=2000;k++)
                {
                    if (i==1 && j==1) continue;
                    if (d[i-1][j][k-a[i][j]]!=-1)
                        d[i][j][k]=d[i-1][j][k-a[i][j]]+a[i][j]*a[i][j];
                    if (d[i][j-1][k-a[i][j]]!=-1 && d[i][j][k]!=-1)
                        d[i][j][k]=min(d[i][j-1][k-a[i][j]]+a[i][j]*a[i][j],d[i][j][k]);
                    else if (d[i][j-1][k-a[i][j]]!=-1 && d[i][j][k]==-1)
                        d[i][j][k]=d[i][j-1][k-a[i][j]]+a[i][j]*a[i][j];
                }
        LL ans=0x7fffffffffffffff;
        for (int i=0;i<=2000;i++)
        {
            if (d[n][m][i]!=-1 && ans>d[n][m][i]*t-(i*i) ) ans=t*d[n][m][i]-(i*i);
        }
        printf("Case #%d: %I64d\n",Case++,ans);
    }
    return 0;
}