P4549 【模板】裴蜀定理

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前置知识:裴蜀定理

分析

对于输入的 n n n个数 a 1 a_1 a1 a 2 a_2 a2 a 3 ⋯ a n a_3\cdots a_n a3an,我们其实可以默认它们全部为非负数,因为对于 x i x_i xi,是可以取任意值的,所以当 a i a_i ai为负时, x i x_i xi取负数,两数之积就为正了,所以不用考虑判断 S < 0 S<0 S<0的情况。
接着,我们其实需要计算的就是 ∣ a 1 ∣ ⋅ x 1 + ∣ a 2 ∣ ⋅ x 2 + ∣ a 3 ∣ ⋅ x 3 + ⋯ + ∣ a n ∣ ⋅ x n \lvert a_1\lvert\cdot x_1+\lvert a_2\lvert\cdot x_2+\lvert a_3\lvert\cdot x_3+\cdots+\lvert a_n\lvert\cdot x_n a1x1+a2x2+a3x3++anxn
那么,又因为在裴蜀定理及其证明中说过裴蜀定理的推广:
对于多个整数 a 1 a_1 a1 a 2 a_2 a2 a 3 a_3 a3…… a n a_n an(不全为零),存在整数 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2 x 3 x_3 x3…… x n x_n xn使得:
g c d ( gcd( gcd( a 1 a_1 a1 a 2 a_2 a2 a 3 a_3 a3…… a n a_n an ) = a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + )=a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+ )=a1x1+a2x2+a3x3+…… a n x n a_nx_n anxn a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+ a1x1+a2x2+a3x3+…… a n x n a_nx_n anxn g c d ( gcd( gcd( a 1 a_1 a1 a 2 a_2 a2 a 3 a_3 a3…… a n a_n an ) ) )的倍数。
那么,原式就可以表示为: p ⋅ g c d ( ∣ a 1 ∣ , ∣ a 2 ∣ , ∣ a 3 ∣ , ⋯   , ∣ a n ∣ ) p\cdot gcd(\lvert a_1\lvert,\lvert a_2\lvert,\lvert a_3\lvert,\cdots,\lvert a_n\lvert) pgcd(∣a1,a2,a3,,an),当 S > 0 S>0 S>0时,要使 S S S最小, g c d ( ∣ a 1 ∣ , ∣ a 2 ∣ , ∣ a 3 ∣ , ⋯   , ∣ a n ∣ ) gcd(\lvert a_1\lvert,\lvert a_2\lvert,\lvert a_3\lvert,\cdots,\lvert a_n\lvert) gcd(∣a1,a2,a3,,an)为定值,那么 p p p取值为 1 1 1
所以,最后的答案就是所有 a [ i ] a[i] a[i]的最大公约数。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int read(){
	int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
	return x*f;
}
void print(int x){
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x<10){putchar(x+'0');return;}
	print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
int n,ans;
int a[N];
int gcd(int a,int b){//辗转相除法
	if(a<b)swap(a,b);
	if(b==0)return a;
	return gcd(b,a%b);
}
signed main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)ans=gcd(ans,abs(read()));
	print(ans);
}
<think>好的,我现在需要处理用户关于裴蜀定理的查询。用户想了解其数学原理及应用。首先,我得确认自己对这个定理的理解是否正确。裴蜀定理,又称贝祖定理,主要涉及两个整数的最大公约数与其线性组合的关系。记得定理的内容是:对于不全为零的整数a和b,存在整数x和y,使得ax + by = gcd(a, b)。同时,这个gcd(a, b)是能够表示为ax + by的最小正整数。 接下来,用户可能想知道应用,比如在数论、密码学或者算法中的应用。比如,扩展欧几里得算法就是基于裴蜀定理的,用来求解x和y的值。此外,在解决线性同余方程、模逆元计算等方面也有应用,这些都是密码学中的常见问题。 需要检查是否有遗漏的关键点。比如,定理的推广形式,多个整数的情况,或者它在其他数学领域中的应用,如代数几何中的贝祖定理(虽然可能不同,但用户可能混淆)。需要明确区分。 然后,考虑是否需要搜索补充信息,确保准确性。比如,查找最新的应用实例,或者是否有常见的误解需要澄清。例如,定理中的x和y并不唯一,且如何在实际中求解这些系数。 关于数学原理部分,需要详细说明定理的证明思路,可能涉及欧几里得算法的步骤。但用户的问题可能不需要详细证明,而是更关注结论和应用。不过,适当的原理解释有助于理解应用的基础。 应用部分,可以举具体的例子,如解不定方程,或者RSA算法中求模逆元的过程。此外,在计算机科学中,扩展欧几里得算法的实现也是基于此定理,可能需要给出代码示例,但用户的问题中没有明确要求代码,不过如果有的话会更实用。 需要确保回答结构符合用户的要求:多个方法或步骤,换行分隔,避免使用步骤词汇。可能需要分点阐述数学原理、应用场景、实例等。 最后,生成相关问题时要基于原问题,比如定理的证明方法、扩展欧几里得算法的具体步骤、在密码学中的具体应用案例等。确保问题相关且有深度,帮助用户进一步探索。 现在需要整合这些思考,按照用户的格式要求组织答案,确保引用来源正确,不堆砌在末尾,每个部分清晰。同时,检查是否满足所有格式要求,特别是数学公式和代码的格式,以及相关问题的正确位置和格式。</think>裴蜀定理(Bézout's Identity)是数论中的基础定理,描述了整数线性组合与最大公约数的关系。设$a,b$为不全为零的整数,其最大公约数为$\gcd(a,b)$,则存在整数$x,y$使得方程$ax + by = \gcd(a,b)$成立。该定理可推广到多个整数情形:对于$n$个整数$a_1,a_2,...,a_n$,其线性组合的最小正整数等于它们的最大公约数。 **数学原理** 1. **存在性证明**:通过欧几里得算法构造性证明。递归计算$\gcd(a,b)$时,反向代入余数表达式可得到$x$和$y$的具体表达式。例如计算$\gcd(252, 105)$: $$252 = 2 \times 105 + 42$$ $$105 = 2 \times 42 + 21$$ $$42 = 2 \times 21 + 0$$ 反向推导得$21 = 105 - 2 \times 42 = 105 - 2 \times (252 - 2 \times 105) = 5 \times 105 - 2 \times 252$,即$x=-2,y=5$。 2. **唯一性条件**:解的全体可表示为$x = x_0 + \frac{b}{d}k$,$y = y_0 - \frac{a}{d}k$($k \in \mathbb{Z}$,$d=\gcd(a,b)$)。当要求$x,y$满足特定约束时(如最小非负解),解唯一。 **核心应用** - **解线性不定方程**:方程$ax + by = c$有整数解当且仅当$\gcd(a,b) \mid c$。例如方程$12x + 15y = 3$有解,因$\gcd(12,15)=3$,且$3 \mid 3$。 - **模逆元计算**:若$a$与$m$互质,则存在$x$使得$ax \equiv 1 \pmod{m}$,此$x$即为$a$模$m$的逆元。通过扩展欧几里得算法实现: ```python def extended_gcd(a, b): if b == 0: return a, 1, 0 d, x1, y1 = extended_gcd(b, a % b) x = y1 y = x1 - (a // b) * y1 return d, x, y ``` - **密码学基础**:RSA算法中密钥生成依赖模逆元计算,而椭圆曲线密码体制利用推广的裴蜀定理构造双线性对。 **几何解释**:在平面坐标系中,直线$ax + by = c$通过整数点的充要条件是$\gcd(a,b) \mid c$。若$\gcd(a,b)=1$,则该直线在整数格点上无限密集。
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