HDU-2973 YAPTCHA

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#数学 #素数筛

于 2025-06-04 22:57:32 首次发布

题目传送门
先把题目中的公式弄过来。

$S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\lfloor\frac{(3k+6)!+1}{3k+7}-\lfloor\frac{(3k+6)!}{3k+7}\rfloor\rfloor$
首先，得先了解威尔逊定理

威尔逊定理（证明后续发）

对于一个素数 $p$ ，有：
$(p-1)!\equiv-1(mod\ p)$

分析

然后通过威尔逊定理来分析题目。
我们设 $x = 3 k + 7$ ，那么上面的式子就变成了：
$S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\lfloor\frac{(x-1)!+1}{x}-\lfloor\frac{(x-1)!}{x}\rfloor\rfloor$

x是素数

由于威尔逊定理，当 $x$ 是素数时， $(x-1)!+1\equiv0(mod\ p)$ ，那么 $\frac{(x-1)!+1}{x}$ 就一定是一个整数，所以 $\lfloor\frac{(x-1)!}{x}\rfloor$ 就是一个比 $\frac{(x-1)!+1}{x}$ 小 $1$ 的整数，所以原式的值为 $1$ 。

x是合数

当 $x$ 是合数时，就一定有两个数 $a$ 和 $b$ ，满足 $1 < a < b < x$ ，所以 $\frac{(x-1)!}{x}$ 就是一个整数。又由于 $k\ge1$ ，所以 $x > 1$ ，那么 $\frac{(x-1)!+1}{x}-\frac{(x-1)!}{x}<0$ ，可以得出 $\lfloor\frac{(x-1)!+1}{x}-\frac{(x-1)!}{x}\rfloor=0$

总结

所以综上可得，只需要判断 $x$ ，即 $3 k + 7$ 是不是素数，问题就迎刃而解了。

#include<bits/stdc++.h>
#define endl putchar('\n')
using namespace std;
const int N=5e6+5;
int read(){
	int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
	return x*f;
}
void print(int x){
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x<10){putchar(x+'0');return;}
	print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
int T;
int vis[N];
int p[N];
int cnt;
int f[N];
signed main(){
	for(int i=2;i<=3e6+10;i++){//素数筛
		if(!vis[i])p[++cnt]=i;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=3e6+10;j++)vis[i*p[j]]=1;
	}
	for(int i=1;i<=1e6;i++)f[i]=f[i-1]+(!vis[3*i+7]);//计算前缀和
	T=read();
	while(T--){
		print(f[read()]);
		endl;
	}
}