裴蜀定理及其证明

裴蜀定理

对于所有整数$a$和$b$，存在：
$gcd(a,b)=ax+by$
并且$ax+by$一定是$gcd(a,b)$的倍数。

证明

定义一个集合：
{$ax+by｜ax+by>0$}
根据良序定理可以得知，任何一个非空的集合，都会存在一个最小值。
那么我们设这个集合的最小值为$d$
$d=a{x}_0+b{y}_0$
证明$d$为$a$和$b$的公约数
我们可以将$a$表示为$pd+r$
将$d=a{x}_0+b{y}_0$代入上式，可知：
$a=p(a{x}_0+b{y}_0)+r=pa{x}_0+pb{y}_0+r$
那么，根据等式的性质可得：
$r=a-(pa{x}_0+pb{y}_0)=a(1-p{x}_0)+b(-p{y}_0)$
这就说明$r$也是一个形如$ax+by$格式的数，其取值范围是$0～d-1$，那么$r$就只能为$0$
所以得出$d｜a$
$b$同理。
证明$d$是$a$和$b$的最大公约数
设$c$为$a$和$b$的任意一个公约数。
我们将$a$表示为$mc$，$b$表示为$nc$
那么，$d=a{x}_0+b{y}_0=mc{x}_0+nc{y}_0=c(m{x}_0+n{y}_0)$
因为$d>0$，所以$c｜d$
即$c\le d$
所以，$d$为$a$和$b$的最大公约数
总结
我们已经证得：
$d$为$a$和$b$公约数，并且对于$a$和$b$的任意公约数$c$，都有$c\le d$
因此，$d=gcd(a,b)$，并存在$x$，$y$使得：$gcd(a,b)=ax+by$

推广

对于多个整数$a_1$，$a_2$，$a_3$……$a_n$（不全为零），存在整数$x_1$，$x_2$，$x_3$……$x_n$使得：
$gcd($$a_1$，$a_2$，$a_3$……$a_n$$)=a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3+$……$a_n{x}_n$