算法学习系列（二十九）：裴蜀定理、扩展欧几里得算法

引言

这个扩展欧几里得算法用的还是比较多的，而且也很实用，话不多说直接开始吧。

一、裴蜀定理

$裴蜀定理：对于任意正整数a和b，一定存在非零整数x和y，使得ax+by=gcd(a,b)$
也就是说a和b能凑出来的最小正整数就是它们的最大公约数

二、扩展欧几里得算法模板

$给出a和b,求满足ax+by=gcd(a,b)中任一x和y的值$

int exgcd(int a, int b, int& x, int& y)
{
    if(!b)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    
    int d = exgcd(b, a%b, y, x);
    y -= a / b * x;
    
    return d;
}

三、公式推导

$ax+by=gcd(a,b)$
$当b为0，gcd(a,b)=a，ax+y\ast 0=a,则一组解为x=1,y=0$
$gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{mod}b),a\mathrm{mod}b=a-(\frac{a}{b})\ast b,注：此处的\frac{a}{b}都为下取整，$
$则by+(a\mathrm{mod}b)x=d,by+(a-(\frac{a}{b})\ast b)x=d,$
$则ax+b(y-(\frac{a}{b})\ast x)=d$

四、例题

1.扩展欧几里得算法模板题

题目描述：

给定 n 对正整数 ai,bi，对于每对数，求出一组 xi,yi，使其满足 ai×xi+bi×yi=gcd(ai,bi)。

输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含两个整数 ai,bi。

输出格式
输出共 n 行，对于每组 ai,bi，求出一组满足条件的 xi,yi，每组结果占一行。
本题答案不唯一，输出任意满足条件的 xi,yi 均可。

数据范围
1≤n≤105,1≤ai,bi≤2×109
输入样例：
2
4 6
8 18
输出样例：
-1 1
-2 1

示例代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>

using namespace std;

int exgcd(int a, int b, int& x, int& y)
{
    if(!b)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    
    int d = exgcd(b, a%b, y, x);
    y -= a / b * x;
    
    return d;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    
    while(n--)
    {
        int a, b, x, y;
        scanf("%d%d",&a, &b);
        
        exgcd(a, b, x, y);
        printf("%d %d\n", x, y);
    }
    
    return 0;
}

2.线性同余方程

题目描述：

给定 n 组数据 ai,bi,mi，对于每组数求出一个 xi，使其满足 ai×xi≡bi(modmi)，如果无解则输出 impossible。

输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含一组数据 ai,bi,mi。

输出格式
输出共 n 行，每组数据输出一个整数表示一个满足条件的 xi，如果无解则输出 impossible。
每组数据结果占一行，结果可能不唯一，输出任意一个满足条件的结果均可。
输出答案必须在 int 范围之内。

数据范围
1≤n≤105,1≤ai,bi,mi≤2×109
，输入样例：
2
2 3 6
4 3 5
输出样例：
impossible
-3

$求ax\equiv b(\mathrm{mod}m)，即ax=my+b,即ax-my=b，$
$令y\prime =-y,则ax+my\prime =b,$
$又存在ax+my\prime =gcd(a,m),$
$所以只要判断b是否为gcd(a,m)的倍数即可判断是否存在，并且res=\frac{b}{gcd(a,m)}\ast x$

示例代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;

int exgcd(int a, int b, int& x, int& y)
{
    if(!b)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    
    return d;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    
    while(n--)
    {
        int a, b, m, x, y;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &m);
        
        int d = exgcd(a, m, x, y);
        if(b % d == 0) printf("%lld\n", (LL)x * (b / d) % m);
        else puts("impossible");
    }
    
    return 0;
}