裴蜀定理（贝祖定理）证明与应用

最新推荐文章于 2024-07-30 15:22:55 发布

lleozhang

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分类专栏：数学数论文章标签：数学数论

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本文详细解析了裴蜀定理，阐述了方程有解的充要条件，并通过实例展示了如何利用此定理求解整数序列的最小公因数。提供了完整的算法思路与代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

定理：对于给定的正整数a，b，方程 $a*x+b*y=c$ 有解的充要条件为c是gcd（a，b）的整数倍

证明：

充分性证明：

设gcd（a，b）=d，于是设 $a=k1*d,b=k2*d$ ， $c=k3*d$ 其中k1，k2互质

那么原等式等价于 $k1*d*x+k2*d*y=k3*d$ ，即 $k1*x+k2*y=k3$ ，其中k1，k2互质

那么这个方程等价于模线性方程 $\begin{matrix} k1*x & \equiv & k3 &mod & k2 \end{matrix}$ ，由拓展gcd知，该方程一定有解

那么该方程的一组解即为原方程的解

必要性证明：

采用反证法，假设c不是gcd（a，b）的倍数，于是：

设 $a=k1*d,b=k2*d,c=k3*d+c{}'$

那么：

$k1*d*x+k2*d*y=k3*d+c{}'$

两边同时除以d，有：

$k1*x+k2*y=k3+\frac{c{}'}{d}$

由于k1,x,k2,y,k3均为整数，而 $\frac{c{}'}{d}$ 显然不是整数，故原方程无解

这与方程有解矛盾，故c一定为gcd(a,b)的倍数

定理的推广：

方程 $ax+by+cz+...+nm=f$ （其中a,b,c...n,f为整数）有解的充要条件是f为gcd（a,b,c,...,n）的整数倍

定理的应用：

给定一个序列{an}，求一个整数序列{bn}使得 $a1*b1+a2*b2+...+an*bn$ 值最小（要求最小值为正数），求这个最小值

解：根据裴蜀定理的推广，原式最小值即为gcd(a1,a2...an)

代码（luogu4549）：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
using namespace std;
int n;
int gcd(int x,int y)
{
    if(y==0)
    {
        return x;
    }
    return gcd(y,x%y);
}
int main()
{
//  freopen("min.in","r",stdin);
//  freopen("min.out","w",stdout);
  scanf("%d",&n);
  int ans=0;
  for(int i=1;i<=n;i++)
    {
      int x;
      scanf("%d",&x);
      x=abs(x);
      if(x==0)
      {
      	continue;
      }
      ans=gcd(x,ans);
    }
  printf("%d\n",ans);
  return 0;
}