裴蜀定理的证明

裴蜀定理：

  对于a,b∈Z和d=gcd(a,b), 关于未知数的x和y满足丢番图方程：

                                          ax+by=c

其中d|c.

推论：

  a,b互质的充要条件之存在整数x,y使ax+by=1.

裴蜀定理证明：

对于a,b∈Z, ax+by=gcd(a,b)的证明：

  设d= gcd(a,b),则 d|a,  d|b, d|(ax,+by).

  设s是ax+by线性组合集中最小的正元素，且对于 ax+by=s, x,y∈Z，可知s∈Z

  设q=⌊a/s⌋(下取整)

  r=a%s=a-s*q=a-q(ax+by)=a(1-q)x+b(-q)y

  因为a%s=r 所以0≤r<s

  已知s是ax+by的线性集合集的最小正整数

  所以r=0

  所以s|a

  同理s|b

  所以s是a,b的公倍数 s≤d

  因为d|(ax+by)

  又s=ax+by

  所以d≤s

  综上d=s 即gcd(a,b)是ax+by线性组合集中的最小正整数

对于a,b∈Z,ax+by=c, 有整数解的条件是gcd(a,b)|c的证明

  设,是ax+by=gcd(a,b)的整数解，则x=c/gcd(a,b)* ,y=c/gcd(a,b)*

   转自 https://blog.youkuaiyun.com/discreeter/article/details/69833579