P8943 Deception Point

不是,第一次被一道黄题卡了一个小时……
题目传送门

基环树

这是一棵树,它的本质就是一张没有环的图,有 n n n个点和 n − 1 n-1 n1条边。
在这里插入图片描述
这是一颗基环树,就是再一棵树上面加了一条边,所以它有 n n n个点 n n n条边。
在这里插入图片描述
题目中给出的 n n n n n n边就是一颗基环树。
题目先分为两类来讨论: A A A在环上与 A A A不在环上。

题目分析

A在环上

如果 A A A在环上,那么它就可以一直与 B B B绕着环跑(除了 A A A B B B一来就在同一个点的情况,但是题目中约束了 x i ≠ y i x_i\not=y_i xi=yi),就一定是 A A A获胜。

A不在环上

这时候由于两者都是绝顶聪明的,那么对于需要逃生的 A A A来说,最好的情况一定是跑到环上,因为这样就可以到了必胜的条件1。
但是,在 A A A移动的同时, B B B也会移动,比如存在以下情况。
(红色为 A A A,蓝色为 B B B
在这里插入图片描述

A A A跑到环上的时候, B B B也会到达 A A A所在的点(黄色的点), B B B必胜。

思路

通过上面的分析,可以得出两个步骤:
1.找出图中的环(有且只有一个),判断 A A A是否在环上。
2.若 A A A不在环上,比较 A A A到环上的距离与 B B B到距离 A A A最近的环上节点的距离(就是上图中蓝色点到黄色点的距离)。

实现

环的判断

对于图中的环,因为只有一个,所以可以用拓扑来求出所有环上的点。
怎么求呢?
对于一个无向图,当一个点的度数为 1 1 1时,那么就只有一条边连接它,其肯定不是环上的点,在一棵基环树中,这种点就是叶子节点。
所以,依次删去叶子结点,然后产生新的叶子结点,再删,最后删不掉的,就是连接了两个点的环。

queue<int>o;
for(int i=1;i<=n;i++)if(d[i]==1)o.push(i),vis[i]=1;
while(!o.empty()){
	int x=o.front();
	o.pop();
	for(int i=0;i<a[x].size();i++){
		int p=a[x][i];
		if(--d[p]==1)o.push(p),vis[p]=1;
	}
}
环外点到环的距离

我们可以考虑依次将换上的点入队,向环外找不是环上的点,依次记录步数。
相当于把环当成一个点来看。

while(!q.empty()){
	int x=q.front();
	q.pop();
	for(int i=0;i<a[x].size();i++){
		int y=a[x][i];
		if(vvs[y])continue;
		vvs[y]=1;
		dis[y]=dis[x]+1;//记录步数
		q.push(y);
	}
}
环上两点的距离

我们先随便在环上找一个点,将它标记为 1 1 1,然后用DFS遍历整个环,将剩下的每个点依次编号为 2 2 2 3 3 3 4 4 4……(不要用BFS,因为要么顺时针要么逆时针),对于环上两点 X X X Y Y Y的最小距离,使用两个点的编号来计算

mn=min(abs(dds[X]-dds[Y]),cnt-abs(dds[X]-dds[Y]));//dds[i]是点i的编号,cnt是环的长度
距离 x x x最近的环上节点

对于上图中的红色点,要怎么求黄色的点。
在寻找环外点到环的距离时,可以记录一下每个点对应的环上的点,修改后如下:

for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=i;
while(!q.empty()){
		int x=q.front();
		q.pop();
		for(int i=0;i<a[x].size();i++){
			int y=a[x][i];
			if(vvs[y])continue;
			vvs[y]=1;
			dis[y]=dis[x]+1;
			f[y]=f[x];
			q.push(y);
		}
	}

然后……这道题就解决了。
代码:

#include<bits/stdc++.h>
#define endl putchar('\n')
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int read(){
	int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
	return x*f;
}
void print(int x){
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x<10){putchar(x+'0');return;}
	print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
void putstr(string s){
	for(int i=0;i<s.size();i++)putchar(s[i]);
}
int n,m;
vector<int>a[N];
int vis[N];
int d[N];
int dis[N];
int vvs[N];
int dds[N];
int vvv[N];
int f[N];
int cnt;
void dfs(int x,int r){
	dds[x]=r;
	for(int i=0;i<a[x].size();i++){
		int y=a[x][i];
		if(vis[y])continue;
		if(vvv[y])continue;
		vvv[y]=1;
		dfs(y,r+1);
		vvv[y]=0;
		break;
	}
}
signed main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int u=read(),v=read();
		a[u].push_back(v);
		a[v].push_back(u);
		d[v]++,d[u]++;
	}
	queue<int>o;
	for(int i=1;i<=n;i++)if(d[i]==1)o.push(i),vis[i]=1;
	while(!o.empty()){
		int x=o.front();
		o.pop();
		for(int i=0;i<a[x].size();i++){
			int p=a[x][i];
			if(--d[p]==1)o.push(p),vis[p]=1;
		}
	}
	queue<int>q;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		f[i]=i;
		dis[i]=1e9;
		if(vis[i])continue;
		dis[i]=0;
		vvs[i]=1;
		vvv[i]=0;
		q.push(i);
	}
	while(!q.empty()){
		int x=q.front();
		q.pop();
		for(int i=0;i<a[x].size();i++){
			int y=a[x][i];
			if(vvs[y])continue;
			vvs[y]=1;
			dis[y]=dis[x]+1;
			f[y]=f[x];
			q.push(y);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(vis[i])continue;
		vvv[i]=1;
		dds[i]=1;
		dfs(i,1);
		break;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)cnt+=(!vis[i]);
	while(m--){
		int x=read(),y=read();
		if(!vis[x])putstr("Survive");
		else{
			int X=f[x],Y=f[y];
			int p=min(abs(dds[X]-dds[Y]),cnt-abs(dds[X]-dds[Y]));
			if(dis[x]<dis[y])putstr("Survive");
			else{
				if(dis[x]<dis[y]+p)putstr("Survive");
				else putstr("Deception");
			}
		}
		endl;
	}
}

后续:另一道关于基环树的题目

P8269 [USACO22OPEN] Visits S
这道题目为什么评绿啊?
其实很简单,经过模拟可以发现,不在环中的点,一定可以达到目标,而环中的点,总有一个点达不到目标,所以最后用所有的 v i v_i vi之和减去环中的最小 v i v_i vi就行了。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int read(){
	int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
	return x*f;
}
void print(int x){
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x<10){putchar(x+'0');return;}
	print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
int n;
int a[N],v[N];
int d[N];
int vis[N];
int ans;
int mn;
void dfs(int x){
	vis[x]=1;
	mn=min(mn,v[x]);
	if(vis[a[x]])return;
	dfs(a[x]);
	return;
}
signed main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read(),v[i]=read(),d[a[i]]++,ans+=v[i];
	queue<int>q;
	for(int i=1;i<=n;i++)if(d[i]==0)q.push(i);
	while(!q.empty()){
		int t=a[q.front()];
		vis[q.front()]=1;
		q.pop();
		if(--d[t]==0)q.push(t);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(vis[i])continue;
		mn=1e9;
		dfs(i);
		ans-=mn;
	}
	print(ans);
}
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