P8943 Deception Point

不是，第一次被一道黄题卡了一个小时……
题目传送门

基环树

这是一棵树，它的本质就是一张没有环的图，有$n$个点和$n-1$条边。

这是一颗基环树，就是再一棵树上面加了一条边，所以它有$n$个点$n$条边。

题目中给出的$n$点$n$边就是一颗基环树。
题目先分为两类来讨论：$A$在环上与$A$不在环上。

题目分析

A在环上

如果$A$在环上，那么它就可以一直与$B$绕着环跑（除了$A$和$B$一来就在同一个点的情况，但是题目中约束了$x_i\ne y_i$），就一定是$A$获胜。

A不在环上

这时候由于两者都是绝顶聪明的，那么对于需要逃生的$A$来说，最好的情况一定是跑到环上，因为这样就可以到了必胜的条件1。
但是，在$A$移动的同时，$B$也会移动，比如存在以下情况。
（红色为$A$，蓝色为$B$）

当$A$跑到环上的时候，$B$也会到达$A$所在的点（黄色的点），$B$必胜。

思路

通过上面的分析，可以得出两个步骤：
1.找出图中的环（有且只有一个），判断$A$是否在环上。
2.若$A$不在环上，比较$A$到环上的距离与$B$到距离$A$最近的环上节点的距离（就是上图中蓝色点到黄色点的距离）。

实现

环的判断

对于图中的环，因为只有一个，所以可以用拓扑来求出所有环上的点。
怎么求呢？
对于一个无向图，当一个点的度数为$1$时，那么就只有一条边连接它，其肯定不是环上的点，在一棵基环树中，这种点就是叶子节点。
所以，依次删去叶子结点，然后产生新的叶子结点，再删，最后删不掉的，就是连接了两个点的环。

queue<int>o;
for(int i=1;i<=n;i++)if(d[i]==1)o.push(i),vis[i]=1;
while(!o.empty()){
	int x=o.front();
	o.pop();
	for(int i=0;i<a[x].size();i++){
		int p=a[x][i];
		if(--d[p]==1)o.push(p),vis[p]=1;
	}
}

环外点到环的距离

我们可以考虑依次将换上的点入队，向环外找不是环上的点，依次记录步数。
相当于把环当成一个点来看。

while(!q.empty()){
	int x=q.front();
	q.pop();
	for(int i=0;i<a[x].size();i++){
		int y=a[x][i];
		if(vvs[y])continue;
		vvs[y]=1;
		dis[y]=dis[x]+1;//记录步数
		q.push(y);
	}
}

环上两点的距离

我们先随便在环上找一个点，将它标记为$1$，然后用DFS遍历整个环，将剩下的每个点依次编号为$2$，$3$，$4$……（不要用BFS，因为要么顺时针要么逆时针），对于环上两点$X$，$Y$的最小距离，使用两个点的编号来计算

mn=min(abs(dds[X]-dds[Y]),cnt-abs(dds[X]-dds[Y]));//dds[i]是点i的编号，cnt是环的长度

距离$x$最近的环上节点

对于上图中的红色点，要怎么求黄色的点。
在寻找环外点到环的距离时，可以记录一下每个点对应的环上的点，修改后如下：

for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=i;
while(!q.empty()){
		int x=q.front();
		q.pop();
		for(int i=0;i<a[x].size();i++){
			int y=a[x][i];
			if(vvs[y])continue;
			vvs[y]=1;
			dis[y]=dis[x]+1;
			f[y]=f[x];
			q.push(y);
		}
	}

然后……这道题就解决了。
代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define endl putchar('\n')
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int read(){
	int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
	return x*f;
}
void print(int x){
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x<10){putchar(x+'0');return;}
	print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
void putstr(string s){
	for(int i=0;i<s.size();i++)putchar(s[i]);
}
int n,m;
vector<int>a[N];
int vis[N];
int d[N];
int dis[N];
int vvs[N];
int dds[N];
int vvv[N];
int f[N];
int cnt;
void dfs(int x,int r){
	dds[x]=r;
	for(int i=0;i<a[x].size();i++){
		int y=a[x][i];
		if(vis[y])continue;
		if(vvv[y])continue;
		vvv[y]=1;
		dfs(y,r+1);
		vvv[y]=0;
		break;
	}
}
signed main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int u=read(),v=read();
		a[u].push_back(v);
		a[v].push_back(u);
		d[v]++,d[u]++;
	}
	queue<int>o;
	for(int i=1;i<=n;i++)if(d[i]==1)o.push(i),vis[i]=1;
	while(!o.empty()){
		int x=o.front();
		o.pop();
		for(int i=0;i<a[x].size();i++){
			int p=a[x][i];
			if(--d[p]==1)o.push(p),vis[p]=1;
		}
	}
	queue<int>q;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		f[i]=i;
		dis[i]=1e9;
		if(vis[i])continue;
		dis[i]=0;
		vvs[i]=1;
		vvv[i]=0;
		q.push(i);
	}
	while(!q.empty()){
		int x=q.front();
		q.pop();
		for(int i=0;i<a[x].size();i++){
			int y=a[x][i];
			if(vvs[y])continue;
			vvs[y]=1;
			dis[y]=dis[x]+1;
			f[y]=f[x];
			q.push(y);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(vis[i])continue;
		vvv[i]=1;
		dds[i]=1;
		dfs(i,1);
		break;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)cnt+=(!vis[i]);
	while(m--){
		int x=read(),y=read();
		if(!vis[x])putstr("Survive");
		else{
			int X=f[x],Y=f[y];
			int p=min(abs(dds[X]-dds[Y]),cnt-abs(dds[X]-dds[Y]));
			if(dis[x]<dis[y])putstr("Survive");
			else{
				if(dis[x]<dis[y]+p)putstr("Survive");
				else putstr("Deception");
			}
		}
		endl;
	}
}

后续：另一道关于基环树的题目

P8269 [USACO22OPEN] Visits S
这道题目为什么评绿啊？
其实很简单，经过模拟可以发现，不在环中的点，一定可以达到目标，而环中的点，总有一个点达不到目标，所以最后用所有的$v_i$之和减去环中的最小$v_i$就行了。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int read(){
	int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
	return x*f;
}
void print(int x){
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x<10){putchar(x+'0');return;}
	print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
int n;
int a[N],v[N];
int d[N];
int vis[N];
int ans;
int mn;
void dfs(int x){
	vis[x]=1;
	mn=min(mn,v[x]);
	if(vis[a[x]])return;
	dfs(a[x]);
	return;
}
signed main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read(),v[i]=read(),d[a[i]]++,ans+=v[i];
	queue<int>q;
	for(int i=1;i<=n;i++)if(d[i]==0)q.push(i);
	while(!q.empty()){
		int t=a[q.front()];
		vis[q.front()]=1;
		q.pop();
		if(--d[t]==0)q.push(t);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(vis[i])continue;
		mn=1e9;
		dfs(i);
		ans-=mn;
	}
	print(ans);
}