【题解】「POI2010」Beads（哈希）

题面

【题目描述】
$Zxl$有一次决定制造一条项链，她以非常便宜的价格买了一长条鲜艳的珊瑚珠子，她现在也有一个机器，能把这条珠子切成很多块（子串），每块有$k（k>0）$个珠子，如果这条珠子的长度不是k的倍数，最后一块小于k的就不要拉（nc真浪费），保证珠子的长度为正整数。$Zxl$喜欢多样的项链，为她应该怎样选择数字k来尽可能得到更多的不同的子串感到好奇，子串都是可以反转的，换句话说，子串$（1，2，3）$和$（3,2,1）$是一样的。写一个程序，为$Zxl$决定最适合的k从而获得最多不同的子串。
例如：这一串珠子是：$ (1,1,1,2,2,2,3,3,3,1,2,3,3,1,2,2,1,3,3,2,1)，$
$k=1$的时候，我们得到3个不同的子串：$(1),(2),(3)$
$k=2$的时候，我们得到6个不同的子串：$(1,1),(1,2),(2,2),(3,3),(3,1),(2,3)$
$k=3$的时候，我们得到5个不同的子串： $(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),(1,2,3),(3,1,2)$
$k=4$的时候，我们得到5个不同的子串： $(1,1,1,2),(2,2,3,3),(3,1,2,3),(3,1,2,2),(1,3,3,2)$
【输入】
共有两行，第一行一个整数n代表珠子的长度，$（n<=200000）$，第二行是由空格分开的颜色$a_i（1<=a_i<=n）。$
【输出】
也有两行，第一行两个整数，第一个整数代表能获得的最大不同的子串个数，第二个整数代表能获得最大值的$k$的个数，第二行输出所有的$k$（中间有空格）。
【样例输入】

21
1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3 3 1 2 2 1 3 3 2 1

【样例输出】

6 1
2

算法分析

题目要求出所有满足的$k$，那么就只有暴力枚举了，时间复杂度为$O(kN),1\le k\le N$。
因此需要进行优化。
（1）记录当前分出的不同子串最大值$MAX$,如果$N/K＜MAX,break$
（2）$memset$时间复杂度为$O(N)$，哈希表链表优化，只对存入的链表的链头$head(first)$初始化。
字符串正反表示的字符串相同，如果确定该字符串的$hash$值？
取小的一个作为该字符串$hash$值：$min$(正序字符串$hash$值，逆序字符串$hash$值)
预处理时：需要同时计算前缀哈希值，后缀哈希值。

参考程序

#include<bits/stdc++.h> 
#define N 200100
#define M 1999993
#define D 1000000009
#define P 13131
#define ll long long 
using namespace std;
ll H[N],Q[N],a[N],mx,s[N]; 
int first[M+10],nex[N],w[N],xxx;
int n,ans[N],num[N];
int  vis[M+10];//标记当前是否添加了hash 
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    s[1]=P%M;
    for(int i=2;i<=n;i++)    //预处理P的次方 
        s[i]=(s[i-1]*P)%D;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&a[i]);
        H[i]=(H[i-1]*P+a[i])%D; //正序字符串hash 
    }
    for(int i=n;i>=1;i--)
        Q[i]=(Q[i+1]*P+a[i])%D; //逆序字符串hash 
    int tot=0;
    for(int k=1;k<=n;k++)        //子串长度为k 
    {
        //memset(first,-1,sizeof(first));  //会超时，使用标记vis,进行初始化 
        int t=0;
        xxx=0; 
        for(int x=1;x+k-1<=n;x+=k)
        {
            ll u=min((H[x+k-1]-(H[x-1]*s[k])%D+D)%D,(Q[x]-(Q[x+k]*s[k])%D+D)%D);
            ll v=u%M;
            int flag=1;
            if(vis[v]<k) //标记初始化 
            {
                vis[v]=k;
                first[v]=-1;
            }
            for(int i=first[v];i!=-1;i=nex[i])
            {
                if(w[i]==u) 
                {
                    flag=0;
                    break;
                }
            }
            if(flag)
            {
                //cout<<k<<":"<<a[x]<<" "<<a[x+1]<<" "<<endl;
                nex[++xxx]=first[v];
                first[v]=xxx;
                w[xxx]=u;        
                t++;
            }
        }
        if(t>=mx) 
        {
            mx=t;
            ans[++tot]=mx;//不同个数 
            num[tot]=k; //当前的长度 
        }
        if(mx>n/k) break;//优化 
    }
    int count=0;
    for(int i=1;i<=tot;i++)
        if(mx==ans[i]) count++;
    printf("%lld %d\n",mx,count);
    for(int i=1;i<=tot;i++)
        if(mx==ans[i]) printf("%d ",num[i]);
    return 0;
}