【题解】「NOI2014」动物园（KMP）

题面

【题目描述】
近日，园长发现动物园中好吃难做的动物越来越多了。例如企鹅，只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气，让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的，园长决定开设算法班，让动物们学习算法。
某天，园长给动物们讲解$KMP$算法。
园长：“对于一个字符串$S$，它的长度为$L$。我们可以在$O(L)$的时间内，求出一个名为$next$的数组。有谁预习了$next$数组的含义吗？”
熊猫：“对于字符串$S$的前$i$个字符构成的子串，既是它的后缀又是它的前缀的字符串中（它本身除外），最长的长度记作$next[i]$。”
园长：“非常好！那你能举个例子吗？”
熊猫：“例$S$为$abcababc$，则$next[5]=2$。因为$S$的前$5$个字符为$abcab$，$ab$既是它的后缀又是它的前缀，并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理，还可得出n$ext[1]=next[2]=next[3]=0，next[4]=next[6]=1，next[7]=2，next[8]=3。”$
园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后，他详细讲解了如何在$O(L)$的时间内求出$next$数组。
下课前，园长提出了一个问题：“$KMP$算法只能求出next数组。我现在希望求出一个更强大num数组一一对于字符串S的前i个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作$num[i]$。例如$S$为$aaaaa$，则$num[4]=2$。这是因为$S$的前$4$个字符为$aaaa$，其中$a$和$aa$都满足性质‘既是后缀又是前缀’，同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而$aaa$虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’，但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了，所以不能计算在内。同理，$num[1]=0,num[2]=num[3]=1,num[5]=2。$”
最后，园长给出了奖励条件，第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话，睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了！但企鹅并不会做这道题，于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出$num$数组呢？
特别地，为了避免大量的输出，你不需要输出$num[i]$分别是多少，你只需要输出对$1,000,000,007$取模的结果即可。
【输入】
第1行仅包含一个正整数$n$ ，表示测试数据的组数。随后n行，每行描述一组测试数据。每组测试数据仅含有一个字符串$S$，$S$的定义详见题目描述。数据保证$S $中仅含小写字母。输入文件中不会包含多余的空行，行末不会存在多余的空格。
【输出】
包含 n 行，每行描述一组测试数据的答案，答案的顺序应与输入数据的顺序保持一致。对于每组测试数据，仅需要输出一个整数，表示这组测试数据的答案对 $1,000,000,007$取模的结果。输出文件中不应包含多余的空行。
【样例输入】

3
aaaaa
ab
abcababc

【样例输出】

36
1
32

【提示】
$n\le 5,L\le 1,000,000$

算法分析

定义一个num2数组，num2[i]表示表示前i个字符是前缀又是后缀的数量，包含重叠部分。
这一个数组求解可以通过求解next时求解出来。
求解num1数组，num1[i]表示表示前i个字符是前缀又是后缀的数量，不包含重叠部分。
因为next数组前缀和后缀包含重叠部分，可以缩小前缀后缀长度，通过next数组缩小，当不存在前缀后缀重叠时，假设前缀为1~t，那么num1[i]=num2[t]+1。

参考程序

#include<bits/stdc++.h>
#define M 1000000007
#define N 1010000
using namespace std;
char s[N],p[N]; 
int nex[N],n,plen;
long long num2[N],num1[N];	
//num2[i]表示前i个字符是前缀又是后缀的数量，包含重叠部分 
//num1[i]表示前i个字符是前缀又是后缀的数量，不重叠部分
void pre()
{
    int k=0;
    nex[1]=0;
    num2[1]=0;
    plen=strlen(p+1);
    for(int j=1;j<plen;j++)
    {
        while(k>0&&p[k+1]!=p[j+1]) k=nex[k];
        if(p[k+1]==p[j+1])  k++;
        nex[j+1]=k;
        if(k==0) num2[j+1]=0;							
		else num2[j+1]=num2[k]+1;
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%s",p+1);
        pre();
        long long ans=1;
        int t=0;
        for(int j=1;j<plen;j++)
        {
            while(t>0&&p[t+1]!=p[j+1]) t=nex[t];
            while(2*t+2>j+1) t=nex[t]; 	//找到不重叠部分 
            if(p[t+1]==p[j+1]) t++;
            if(t==0) num1[j+1]=0;
            else num1[j+1]=num2[t]+1;     //+1是因为num统计的时候不包含整个串 
            ans=(ans*num1[j+1]+ans)%M;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}