【题解】「USACO 2007 Jan」Balanced Lineup（ST表）

题面

【题目描述】
农夫 $John$ 的$N(1<=N<=50,000)$头牛总是按同一序列排队. 有一天,$John$ 决定让一些牛们玩一场飞盘比赛. 他准备找一群在队列中位置连续的牛来进行比赛. 但是为了避免水平悬殊,牛的身高不应该相差太大. $John$准备了$Q(1<=Q<=180,000)$个可能的牛的选择和所有牛的身高 ($1<=$身高$<=1,000,000$). 他想知道每一组里面最高和最低的牛的身高差别.
【输入】
第$1$行：$N,Q$
第$2$到$N+1$行：每头牛的身高
第$N+2$到$N+Q+1$行：两个整数$A$和$B$，表示从$A$到$B$的所有牛。（$1<=A<=B<=N$）
【输出】
输出每行一个数，为最大数与最小数的差
【样例输入】

6 3
1
7
3
4
2
5
1 5
4 6
2 2

【样例输出】

6
3
0

算法分析

ST表模板题目。
a数组表示N头牛的身高。
$f[i][j]$：表示序列$a[i]$开始，连续$2^j$个数的最大值。
$s[i][j]$：表示序列$a[i]$开始，连续$2^j$个数的最小值。
状态转移方程：
$f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+2^{j-1}][j-1])$
$s[i][j]=minx(s[i][j-1],s[i+2^{j-1}][j-1])$

询问区间$a[x]$ ~ $a[y]$最大、小值？
找到一个$k$，使得$[x,x+2^k-1]\cup [y-2^k+1,y]=[x,y]$
需要满足：$2^k<=y-x+1$
取 $k=lo{g}_2(y-x+1)$
区间$[x,y]$最大值=$max(f[x][k],f[y-2^k-1][k])$
区间$[x,y]$最小值=$min(s[x][k],s[y-2^k-1][k])$

参考程序

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100010
using namespace std;
int f[N][25],s[N][25];
int n,m,x,y;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&f[i][0]);
        s[i][0]=f[i][0];		//初始化
    }
         
    for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
        {
            f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
            s[i][j]=min(s[i][j-1],s[i+(1<<(j-1))][j-1]); 
        }
    while(m--)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        int k=log(y-x+1)/log(2);
        printf("%d\n",max(f[x][k],f[y-(1<<k)+1][k])-min(s[x][k],s[y-(1<<k)+1][k]));
    } 
    return 0;
}