【前缀和】无限序列

最新推荐文章于 2024-12-14 23:24:33 发布

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文章标签：模拟赛前缀和

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/SSL_wujiajie/article/details/90922318

本文介绍了一种基于斐波那契数列的前缀和算法，用于解决在无限变化序列中查询特定区间内数字1的个数问题。通过计算斐波那契数列并利用前缀和技巧，文章提供了一个高效解答多次询问的C++实现方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

我们按以下方式产生序列：
1、开始时序列是： “1” ；
2、每一次变化把序列中的 “1” 变成 “10” ，“0” 变成 “1”。
经过无限次变化，我们得到序列"1011010110110101101…"。
总共有 Q 个询问，每次询问为：在区间A和B之间有多少个1。
任务写一个程序回答Q个询问

输入

第一行为一个整数Q，后面有Q行，每行两个数用空格隔开的整数a, b。

输出

共Q行，每行一个回答

输入样例

1
2 8

输出样例

说明

约定
1 <= Q <= 5000
1 <= a <= b < 2^63

思路

利用前缀和
我们看表格

序号	字符串	字符串长度	1的数量
$1$	1	1	1
$2$	10	2	1
$3$	101	3	2
$4$	10110	5	3
$5$	10110101	8	5
$6$	1011010110110	13	6
$7$	101101011011010110101	21	11

它的字符串、字符串的长度、1的数量
都遵从了斐波那契数列
然后我们假设长度为7的
我们可以找几个斐波那契数
组合起来
比如2与5
原本长度为7
1的个数为4
长度为2和5的
1的个数为1和3
加起来就4
所以我们可以利用前缀和
先求出 $y$ 的
在求出 $x - 1$ 的（前缀和，包括 $x$ ，所以-1）
相减就行了

#include<Algorithm>
#include<Iostream>
#include<Cstring>
#include<Cstdio>
#include<Cmath>
#define ll long long
using namespace std;
ll F[1025],A[1025];
ll Ans,n,m,t,x,y;
ll Find(ll k)
{
	Ans=0;
	while(k)
	{
		ll l=0;
		while(A[++l]<=k);--l;
		k-=A[l];
		Ans+=F[l];
	}
	return Ans;
}
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	F[1]=F[2]=1;
	A[1]=1,A[2]=2;
	for(ll i=3;i<=1025;++i)//计算斐波那契数列
		A[i]=A[i-1]+A[i-2],
		F[i]=F[i-1]+F[i-2];
	for(ll k=1;k<=n;++k)
	{
		scanf("%lld%lld",&x,&y);
		printf("%lld\n",Find(max(x,y))-Find(min(x,y)-1));//利用前缀和
	}
	return 0;
}