[数学]无限序列

最新推荐文章于 2022-02-08 13:30:57 发布

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该博客探讨了一个无限序列的变化规律，其中每个1变为10，每个0变为1。通过斐波那契数列的性质，作者分析了如何计算序列中特定区间的1的数量，并提出了解答此类问题的算法思路，即利用斐波那契数列求解区间内1的个数，并处理非斐波那契数的情况。

题目描述
我们按以下方式产生序列：
1、开始时序列是： “1” ；
2、每一次变化把序列中的 “1” 变成 “10” ，”0” 变成 “1”。
经过无限次变化，我们得到序列”1011010110110101101…”。
总共有 Q 个询问，每次询问为：在区间A和B之间有多少个1。
任务：写一个程序回答Q个询问
Input
第一行为一个整数Q，后面有Q行，每行两个数用空格隔开的整数a, b。
Output
共Q行，每行一个回答
Sample Input
1
2 8
Sample Output
4

1 <= Q <= 5000
1 <= a <= b < 2^63

分析
我推算了一小会儿~~两个钟头~~
发现一个规律，完整的一个序列，它的长度是上一个序列+上上个序列的长度。
是不是似曾相识？没错，就是斐波那契数列
然后我又观察了一会儿，发现当前序列的长度是上一个序列的长度+上一个序列中含1的个数
这就说明了，一个完整的序列中含1的个数必为它的上一项斐波那契数
但是如果序列长不是斐波那契数怎么办？
根据一个不证自明的定理（瞎推的）得知，任何一个正整数都可以被分解成多个斐波那契数
那么我们打个递归函数，把这个正整数的斐波那契部分求出，然后分解剩下不是斐波那契的部分即可
同时打个心眼：区间a,b，a那一位是算进去的，所以不能fib(b)-fib(a),而是fib(b)-fib(a-1)