关于φ的一些

关于phi（$\phi$）的

打了这么久的比赛，好不容易有空的时间，就出来多写写数论，怎么说呢？其实应该是改不动题才空出来的时间。

对于一个数$N$,好的，先可以分解一下质因数，比如说这种形式
$$N=P_1^{c}1+P_2^{c}2+P_3^{c}3+...+P{n}^{c}n$$
简略点表示
$$N=\prod _{i=1}^{\phi (N)}{P}_i^{c}i$$
$i$表示编号，上文的（1,2,3）也是
那么我们还有一个公式
$$\phi (N)=N\ast \prod _{i=1}^k(1-\frac{1}{P_i})$$
那么这个公式是如何推导的，(⊙v⊙)？。
我们假设有p，q两个质数，都小于等于N，且不相同。那么1~N 中有$\frac{N}{p}$个p及它的倍数，且这些与N互质，那么同样的，对于q来说，1~N里有$\frac{N}{q}$个q及他的倍数，且都与N互质，那么我们发现，如果将这两个统计在一起，那么q*p这个倍数被重复了一次，那么应该是$\frac{N}{p}+\frac{N}{q}-\frac{N}{qp}$个质数，那么化简一下，就是

$$\frac{N}{p}+\frac{N}{q}-\frac{N}{qp}$$
把这个柿子处理一下
$$N(1-\frac{1}{p}+\frac{1}{q}-\frac{1}{qp})$$
然后十字相乘一下，咳咳
就是
$$N(1-\frac{1}{q})(1-\frac{1}{p})$$
两种质数处理完了，感性理解一下，如果是多个，那不就是变成上面那个公式了嘛？

$感性证毕$

那么还有就是$\phi$的三个个比较有用的性质
1.对于有$num|N$且满足$nu{m}^2=N$那么$$\phi (N)=\phi (N/num)\ast num$$

2.对于$num|N$且一定不满足$nu{m}^2=N$,那么$$\phi (N)=\phi (N/num)\ast (num-1)$$

3.如果有两个数q,p互质，那么它满足积性函数的性质，即$$\phi (qp)=\phi (q)\ast \phi (p)$$

该归纳的都归纳了，呃好累啊。