P10447 最短 Hamilton 路径

最短 Hamilton 路径

题目描述

给定一张 $n$ 个点的带权无向图，点从 $0\sim n-1$ 标号，求起点 $0$ 到终点 $n-1$ 的最短 Hamilton 路径。

Hamilton 路径的定义是从 $0$ 到 $n-1$ 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入格式

第一行输入整数 $n$。

接下来 $n$ 行每行 $n$ 个整数，其中第 $i$ 行第 $j$ 个整数表示点 $i-1$ 到 $j-1$ 的距离（记为 $a[i-1,j-1]$）。

对于任意的 $x,y,z$，数据保证 $a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x]$ 并且 $a[x,y]+a[y,z]\ge a[x,z]$。

输出格式

输出一个整数，表示最短 Hamilton 路径的长度。

样例 #1

样例输入 #1

5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0

样例输出 #1

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提示

对于所有测试数据满足 $1\le n\le 20$，$0\le a[i,j]\le 10^7$

思路：正常来讲，我们看到这种题应该想到的是dfs暴力求解，因为n只有20，算了一下复杂度，O(n!),在20的数据里面，这肯定辉TLE，那么我们想着如何进行状态压缩dp，虽然有点突然， ，我们开始设置当前状态，第一维要保证目前状态的表示，那么我们可以很清楚的知道，可以用二进制数的0和1分别表示该点有没有走到，那么二维就应该是当前状态的点。那么我们需要在第一个循环中枚举二进制数，也就是在走地图中所有的情况，理论上来说，由于起点是0，只有当枚举到后面的状态时才会枚举到没到过的点，这里是不会存在枚举顺序的问题的，仔细的说，就是，不会存在枚举到一个情况的时候，这种情况不存在，起码会有目前已知的情况推到此合法情况。

另外就是后两个循环，在后两个循环中，我们需要知道，枚举从当前点k到目标点j的点，从此状态可以看出，这个i必须需要同时满足经过k点，我们可以通过按位与运算来确定，其次我们需要通过异或运算，找出我们需要的还未经过j点的状态数组。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int val[22][22];
int n;
int dp[1<<20][21]; //通过二进制数表示可能的方案，二维表示状态点 
int main()
{
	memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(dp));
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;++i)
	for(int j=0;j<n;++j) scanf("%d",&val[i][j]);
	dp[1][0]=0;
	for(int i=1;i<(1<<n);++i)//通过状态压缩来枚举可能得方案数 
	for(int j=0;j<n;++j)
	if((i>>j)&1)//它去过j点 
	for(int k=0;k<n;++k)
	{
		if(j==k) continue;
		if(i>>k&1) //去过k点 
		dp[i][j]=min(dp[i^(1<<j)][k]+val[k][j],dp[i][j]);//这里就是用异或运算把i中去过j的1去掉，枚举合法状态，
	}
	printf("%d\n",dp[(1<<n)-1][n-1]);
	return 0;
}