2024.10.15笔记整理

康复训练

随便 刷了几道难题

[NOIP2008 提高组] 传纸条

题目描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排坐成一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标 $(1,1)$，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 $(m,n)$。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 $0$ 表示），可以用一个 $[0,100]$ 内的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入格式

第一行有两个用空格隔开的整数 $m$ 和 $n$，表示班里有 $m$ 行 $n$ 列。

接下来的 $m$ 行是一个 $m\times n$ 的矩阵，矩阵中第 $i$ 行 $j$ 列的整数表示坐在第 $i$ 行 $j$ 列的学生的好心程度。每行的 $n$ 个整数之间用空格隔开。

输出格式

输出文件共一行一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

样例 #1

样例输入 #1

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

样例输出 #1

34

提示

【数据范围】

对于 $30\%$ 的数据，满足 $1\le m,n\le 10$。
对于 $100\%$ 的数据，满足 $1\le m,n\le 50$。

【题目来源】

NOIP 2008 提高组第三题。

思路：首先这道题非常像方格取数，从左上到右下，和从右下到左上可以整合为有两个人都从左上到右下传纸条，根据数据大小，很明显，时间复杂度O(N^4)是会TLE的，想一想如何用三维数组表示目前状态，其实可以用走的总步数来表示，另外的两个数组表示两次传纸条时在的纵坐标，这样我们就可以得出两次传纸条的横坐标，将走过的步数减去纵坐标就可以得到当前状态下的横坐标。
接下来思考对于dp[len][i][j]如何转移，对于当总步数为len的情况下,步数len-1的dp数组可以考虑A向下走，B向下走，也可以保持A和B都向右走，也可以A向右走，B向下走，搭配组合一下就可以发现，转移到当前状态可以有四种

$$dp[len][i][j]=max(dp[len-1][i-1][j],dp[len-1][i][j-1],dp[len-1][i-1][j-1],dp[len-1][i][j])$$

然后还要加上当前走到方格的值
当然这里要分两种情况来说明，一般来讲，如果两个路线一致，也就是说，此时如果i==j的话，路线重复，那对于这个方案理应来说就只能加一次值，但是为了后面方程的转移就只能加一次当前方格的值

如果i！=j那么其实就可以加上两次分别走上的格子上的值

$$\mathbf{code}$$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define long long ll
using namespace std;
const int N=55;
int m,n;
int mp[N][N];
int dp[N<<1][N][N];
int mx(int a,int b,int c,int d)
{
	return max(max(a,b),max(c,d));
}
int main()
{
//	freopen("P1006_4.txt","r",stdin);
//	freopen("ans.txt","w",stdout);
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for(int i=1;i<=m;++i)
		for(int j=1;j<=n;++j) 
			scanf("%d",&mp[i][j]);
//	printf("\n");
	for(int len=1;len<=n+m-2;++len)//表示步数 A和B的步数，不是他们的加和，其实准确来说就是A和B共同计数 
		{
			for(int i=1;i<=m&&i<=len+1;++i)
			for(int j=1;j<=m&&j<=len+1;++j)//枚举纵坐标
			{
				//有四种情况，因为A和B分别走右和下，如此搭配一共有四种方案 
				dp[len][i][j]=mx(dp[len-1][i-1][j],dp[len-1][i][j-1],dp[len-1][i-1][j-1],dp[len-1][i][j]);//继承上一步的最优解 
				if(i==j)//如果路线重复，那就只能加一个 
					dp[len][i][j]+=mp[i][len-i+2];
				else //如果路线不重复，那么就可以A和B都走 
					dp[len][i][j]+=mp[i][len-i+2]+mp[j][len-j+2]; 
			} 
/*			for(int i=1;i<=n;++i)
			{
				for(int j=1;j<=m;++j) printf("%d ",dp[len][i][j]); 
				printf("\n");
			}
			printf("\n");*/
		} 
	printf("%d",dp[n+m-2][m][m]);
	return 0;
} 

谢谢大家！