『分治』51nod1810：连续区间

题目描述

题解

考虑分治$[L,R]$内的答案，连续区间一端位于$[L,mid]$,另一端位于$[mid+1,R]$的答案有多少。其余的递归处理。我们知道一段连续区间的特征是$$Max-Min=R-L.$$
假设$Ma{x}_i=max(ai,a_{i+1},...,a_{mid}).Mi{n}_i=min(a_i,a_{i+1},...,a_{mid}).$
$Ma{x}_j=min(a_j,a_{j-1},...,a_{mid}),Mi{n}_j=min(a_j,a_{j-1},...,a_{mid})$

那么我们可以根据最大值和最小值的关系得到如下四个等式，每一个连续区间[i,j]必然满足其中关系的一个。$$\{\begin{array}{l}Ma{x}_i-Mi{n}_i=j-i①\\ Ma{x}_i-Minj=j-i②\\ Ma{x}_j-Minj=j-i③\\ Maxj-Mini=j-i④\end{array}$$

在这里，①③和②④本质相同，只需要对数组做一遍翻转操作即可。我们来考虑如何计算①和②。

• 对于①的情况，我们可以枚举$i\in [L,mid],$计算出$j=Ma{x}_i-Mi{n}_i+i$.
  判断$j\in [Mid+1,R]$是否满足，且是否满足如下条件即可：$$\{\begin{array}{l}Ma{x}_i>Ma{x}_j\\ Mi{n}_i<Mi{n}_j\end{array}$$

• 对于②的情况，我们可以枚举$i\in [L,Mid]$,计算出有多少对$j+Mi{n}_j=i+Mi{n}_i$即可。
  其中j的统计用数组标记，我们用双指针找到合法的j的范围然后统计到数组里面累加即可。这样对于i也能够直接查找。由于有两个约束条件：$$\{\begin{array}{l}Ma{x}_i>Ma{x}_j\\ Mi{n}_i>Mi{n}_j\end{array}$$
  有指针$r$枚举满足第二个条件的右端点，用$l$去掉非法的左端点。这里有一点莫队的思想。

代码其实十分简短：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 3000000;

int n;
long long ans = 0;
int Max[N], Min[N], a[N], cnt[N];

void work(int L,int R,int Mid)
{
	Max[Mid] = Min[Mid] = a[Mid];
	for (int i=Mid-1;i>=L;--i) 
	{
		Max[i] = max(Max[i+1],a[i]);
		Min[i] = min(Min[i+1],a[i]);
	}
	Max[Mid+1] = Min[Mid+1] = a[Mid+1];
	for (int i=Mid+2;i<=R;++i) 
	{
		Max[i] = max(Max[i-1],a[i]);
		Min[i] = min(Min[i-1],a[i]);
	}
	//maxi-mini=j-i
	for (int i=L;i<=Mid;++i)
	{
		int j = i+Max[i]-Min[i];
		if (j > Mid && j <= R && Max[i] > Max[j] && Min[i] < Min[j])
		    ans ++;
	}
	//maxi-minj=j-i
	int l =Mid+1, r = Mid;
	for (int i=Mid;i>=L;--i)
	{
		while (Max[r+1] < Max[i] && r < R)
			r ++, cnt[r+Min[r]] ++;
		while (Min[l] > Min[i] && l <= r)
		    cnt[l+Min[l]] --, l ++;
		ans += 1LL * cnt[i+Max[i]];
	}
	while (l <= r) cnt[l+Min[l]] --, l ++;
	return; 
}

void Solve(int L,int R)
{
	if (L == R) ans ++;
	if (L >= R) return;
	int mid = L+R >> 1;
	Solve(L,mid), Solve(mid+1,R);
	int Mid = L+R >> 1; 
	work(L,R,mid);
	reverse(a+L,a+R+1);
	if ((L+R+1) % 2 == 0) work(L,R,mid);
	else work(L,R,mid-1);
	reverse(a+L,a+R+1);
	return;
}

int main(void)
{
	scanf("%d", &n);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d", a+i);
	Solve(1,n);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}